Verifique se a função dada é continua ou não. Se for descontinua, sugira uma mudança de maneira que ela se torne continua
e(x, y)=cc1-raizx^2+y^2 & x^2+y^2<1 x^2+y^2-1 & x^2+y^2 >= 1,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função de duas variáveis, e(x, y) , é contínua ou não. Se não for, a gente precisa sugerir uma mudança para torná-la contínua. A função está definida de duas maneiras, dependendo se x^2 + y^2 é menor que 1 ou maior ou igual a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade em funções de várias variáveis e analisar o comportamento da função na fronteira onde a definição muda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função nesse ponto for igual ao valor da função no próprio ponto. No caso de funções de duas variáveis, precisamos verificar isso em todas as direções que nos aproximamos do ponto.

Passo 3

Nossa função e(x, y) tem duas definições:
  • Se x^2 + y^2 < 1 , então e(x, y) = 1 - raizx^2 + y^2 .
  • Se x^2 + y^2 >= 1 , então e(x, y) = x^2 + y^2 - 1 .
A mudança de definição acontece quando x^2 + y^2 = 1 , que é a circunferência de raio 1 no plano XY. Precisamos verificar se a função é contínua nessa fronteira.

Passo 4

Vamos calcular o limite de e(x, y) quando (x, y) se aproxima de um ponto na circunferência x^2 + y^2 = 1 por dentro (onde x^2 + y^2 < 1 ) e por fora (onde x^2 + y^2 > 1 ).

Passo 5

Primeiro, pelo dentro ( x^2 + y^2 < 1 ):
lim(x, y) to (a, b) e(x, y) = lim(x, y) to (a, b) (1 - raizx^2 + y^2)
Como (a, b) está na circunferência, raiza^2 + b^2 = 1 , então:
lim(x, y) to (a, b) e(x, y) = 1 - 1 = 0

Passo 6

Agora, pelo fora ( x^2 + y^2 >= 1 ):
lim(x, y) to (a, b) e(x, y) = lim(x, y) to (a, b) (x^2 + y^2 - 1)
Novamente, como raiza^2 + b^2 = 1 :
lim(x, y) to (a, b) e(x, y) = 1 - 1 = 0

Passo 7

Agora, vamos ver o valor da função na circunferência x^2 + y^2 = 1 . De acordo com a definição da função, quando x^2 + y^2 >= 1 , temos:
e(a, b) = a^2 + b^2 - 1 = 1 - 1 = 0

Passo 8

Comparando os limites e o valor da função na circunferência:
  • Limite pelo dentro: 0
  • Limite pelo fora: 0
  • Valor da função: 0
Como todos são iguais, a função é contínua na fronteira. E fora dessa região, cada pedaço das funções 1 - raizx^2 + y^2 e x^2 + y^2 - 1 também são contínuos.

Resposta

A função e(x, y) é contínua em todo o seu domínio.

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