Use o teorema de Green para calcular a integral de linha sobre a curva fechada simples C.
ointC F cdot d r, onde F(x, y)=(2 x y-x^2, x+y^2), e C é a linha delimitadora, tomada no sentido anti-horário, da região R limitada pela parábola y=x^2 e pela reta y=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha sobre uma curva fechada simples C . A função vetorial que estamos lidando é F(x, y) = (2xy - x^2, x + y^2), e a curva C é a fronteira da região R delimitada pela parábola y = x^2 e pela reta y = x , percorrida no sentido anti-horário. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região R que está dentro dessa curva. Matematicamente, ele diz:
ointC F cdot dr = integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde F = (P, Q). Ou seja, a integral de linha da função vetorial F ao longo de C é igual à integral dupla sobre R da diferença das derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y .

Passo 3

Nossa função vetorial é F(x, y) = (2xy - x^2, x + y^2), então podemos identificar P = 2xy - x^2 e Q = x + y^2 . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(x + y^2) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y(2xy - x^2) = 2x

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green, substituímos esses valores na fórmula:
ointC F cdot dr = integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaR (1 - 2x) , dA
Então, nossa tarefa agora é calcular essa integral dupla sobre a região R .

Passo 5

Vamos descrever melhor a região R . Ela é delimitada pela parábola y = x^2 e pela reta y = x . Para visualizar isso, podemos traçar essas duas curvas no plano xy . A parábola y = x^2 abre para cima e a reta y = x passa pela origem com inclinação 45°. Eles se interceptam nos pontos onde x^2 = x , ou seja, em x = 0 e x = 1 .

Passo 6

Com isso, sabemos que x varia de 0 a 1. Para cada x nesse intervalo, y varia da parábola y = x^2 até a reta y = x . Portanto, os limites da integral dupla são:
0 <= x <= 1
x^2 <= y <= x

Passo 7

Agora, podemos escrever a integral dupla com esses limites:
integral duplaR (1 - 2x) , dA = integral0^1 integralx^2^x (1 - 2x) , dy , dx
Vamos resolver primeiro a integral interna em relação a y .

Passo 8

Integrando (1 - 2x) em relação a y :
integralx^2^x (1 - 2x) , dy = (1 - 2x)(y) |x^2^x = (1 - 2x)(x - x^2) = (1 - 2x)x - (1 - 2x)x^2
= x - 2x^2 - x^2 + 2x^3 = x - 3x^2 + 2x^3
Agora, integramos isso em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 (x - 3x^2 + 2x^3) , dx = ( 12x^2 - x^3 + 12x^4 ) |0^1
= ( 12(1)^2 - (1)^3 + 12(1)^4 ) - 0 = 12 - 1 + 12 = 0

Resposta

A integral de linha ointC F cdot dr é igual a 0.

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