Use o teorema de Green para calcular a integral de linha sobre a curva fechada simples C. , onde , e C é a linha delimitadora, tomada no sentido anti-horário, da região R limitada pela parábola e pela reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha sobre uma curva fechada simples . A função vetorial que estamos lidando é , e a curva é a fronteira da região delimitada pela parábola e pela reta , percorrida no sentido anti-horário. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que está dentro dessa curva. Matematicamente, ele diz:
Onde . Ou seja, a integral de linha da função vetorial ao longo de é igual à integral dupla sobre da diferença das derivadas parciais de em relação a e de em relação a .
Passo 3
Nossa função vetorial é , então podemos identificar e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Green, substituímos esses valores na fórmula:
Então, nossa tarefa agora é calcular essa integral dupla sobre a região .
Passo 5
Vamos descrever melhor a região . Ela é delimitada pela parábola e pela reta . Para visualizar isso, podemos traçar essas duas curvas no plano . A parábola abre para cima e a reta passa pela origem com inclinação 45°. Eles se interceptam nos pontos onde , ou seja, em e .
Passo 6
Com isso, sabemos que varia de 0 a 1. Para cada nesse intervalo, varia da parábola até a reta . Portanto, os limites da integral dupla são:
Passo 7
Agora, podemos escrever a integral dupla com esses limites:
Vamos resolver primeiro a integral interna em relação a .