Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha.
ointC(x+y) d x+(x^2-y) d y, C: y=x^2, y=raizx, 0 <= x <= 1.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
ointC(x+y),dx + (x^2-y),dy
onde C é o contorno da região D limitada pelas curvas y=x^2 e y=raizx para 0<= x<=1. Vamos aplicar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha num duplo integral sobre D.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x+y, Q(x,y)=x^2-y
O Teorema de Green diz
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=2x, partial Ppartial y=1,
logo o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =2x-1

Passo 3

A região D é dada por
0<= x<=1, x^2<= y<=raizx
Assim a integral vira
integral duplaD(2x-1),dA =integralx=0^1!integraly=x^2^raizx(2x-1),dy,dx

Passo 4

Primeiro integramos em y:
integraly=x^2^raizx(2x-1),dy =(2x-1)l(raizx-x^2r)
Logo
ointC=integral0^1(2x-1)l(x^tfrac12-x^2r),dx

Passo 5

Expandindo o integrando:
(2x-1)l(x^tfrac12-x^2r) =2x^3/2-x^1/2-2x^3+x^2
Agora integramos termo a termo de 0 a 1:
integral0^12x^3/2,dx=45, integral0^1-x^1/2,dx=-23,
integral0^1x^2,dx=13, integral0^1-2x^3,dx=-12
Somando tudo:
45-23+13-12 =24-10-1530 =-130

Resposta

-130

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