Seja o campo vetorial F(x, y)=(x+3 y+y^10, 3 x+10 x y^9+ln (1+y^2)) :
F é um campo vetorial conservativo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pergunta se o campo vetorial F(x, y)=(x+3 y+y^10, 3 x+10 x y^9+ln (1+y^2)) é conservativo. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e quais são os critérios para identificar isso. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é considerado conservativo se existir uma função potencial, ou seja, uma função f(x, y) tal que F = nabla f, onde nabla f representa o gradiente de f. Em termos mais simples, isso significa que o campo pode ser derivado de uma função escalar.

Passo 3

Para verificar se o campo F é conservativo, em duas dimensões, podemos usar um critério simples: se F = (M, N), então o campo é conservativo se e somente se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x. Ou seja, precisamos verificar se:
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, identifiquemos M e N:
  • M(x, y) = x + 3 y + y^10
  • N(x, y) = 3 x + 10 x y^9 + ln (1 + y^2)
Agora, calculemos partial Mpartial y:
partial Mpartial y = partialpartial y(x + 3 y + y^10) = 0 + 3 + 10 y^9 = 3 + 10 y^9
Em seguida, calculemos partial Npartial x:
partial Npartial x = partialpartial x(3 x + 10 x y^9 + ln(1 + y^2)) = 3 + 10 y^9 + 0 = 3 + 10 y^9

Passo 5

Agora que temos as duas derivadas parciais:
  • partial Mpartial y = 3 + 10 y^9
  • partial Npartial x = 3 + 10 y^9
Percebemos que elas são iguais:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Isso satisfaz o critério para que o campo vetorial seja conservativo.

Resposta

Sim, o campo vetorial F(x, y) é conservativo.

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