Seja o campo vetorial
:
é um campo vetorial conservativo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pergunta se o campo vetorial
é conservativo. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e quais são os critérios para identificar isso. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é considerado conservativo se existir uma função potencial, ou seja, uma função
tal que
, onde
representa o gradiente de
. Em termos mais simples, isso significa que o campo pode ser derivado de uma função escalar.
Passo 3
Para verificar se o campo
é conservativo, em duas dimensões, podemos usar um critério simples: se
, então o campo é conservativo se e somente se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, precisamos verificar se:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, identifiquemos
e
:
Agora, calculemos
:
Em seguida, calculemos
:
Passo 5
Agora que temos as duas derivadas parciais:
Percebemos que elas são iguais:
Isso satisfaz o critério para que o campo vetorial seja conservativo.
Resposta
Sim, o campo vetorial
é conservativo.