Seja o sistema A=[ccc3 & 2 & 1 alpha^2 & -2 & 2 alpha 1 & alpha & -2], x=[lx1 x2 x3] e b=[l2 1 0].
Utilizando o Método da Eliminação de Gauss, determinar a inversa da matriz A. Apresentar os desenvolvimentos teórico e de cálculo. (Valor: 0,5).

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar, via Eliminação de Gauss, a matriz inversa de
A = 3 & 2 & 1 [6pt] alpha^2 & -2 & 2alpha [6pt] 1 & alpha & -2 de modo que A,X=I
Conteúdo: Álgebra Linear – inversão de matrizes pelo método de Gauss.
O que vamos usar:
  • Montar a matriz aumentada .
  • Aplicar operações elementares de linha até chegar em .

Passo 2

Teoria rápida:
  1. Se , é invertível.
  2. Para achar , monta-se e faz-se escalonamento de linhas até obter . Neste caso .

Passo 3

Começamos com a matriz aumentada
l[,Amid I,r] = 3 & 2 & 1 &m|& 1 & 0 & 0[3pt] alpha^2 & -2 & 2alpha&m|& 0 & 1 & 0[3pt] 1 & alpha & -2 &m|& 0 & 0 & 1

Passo 4

Zeramos as entradas abaixo de 3 & 2 & 1 &m|& 1 & 0 & 0[3pt] 0 & -tfrac6+2alpha^23 & tfrac6alpha-alpha^23 &m|& -tfracalpha^23 & 1 & 0[3pt] 0 & tfrac3alpha-23 & -tfrac73 &m|& -tfrac13 & 0 & 1 :
  • R₂ ← R₂ – ·R₁
  • R₃ ← R₃ – ·R₁
Fazendo as contas obtemos

Passo 5

Tornamos o pivô da linha 2 igual a 1:
R₂ ;; -36+2alpha^2;R₂ ;;Longrightarrow;; 0 & 1 & -dfrac6alpha-alpha^26+2alpha^2 ;m|; dfracalpha^26+2alpha^2 & -dfrac36+2alpha^2 &0

Passo 6

Zeramos a coluna 2 nas outras linhas:
  • R₁ ← R₁ – 2·R₂
  • R₃ ← R₃ – ·R₂
Depois de eliminar e simplificar, a parte esquerda fica triangular superior com pivôs 1, e a direita acumula as transformações que virão a ser após os próximos passos.

Passo 7

Por fim, normalizamos a linha 3 de modo que o último pivô seja 1 e então zeramos a coluna 3 em R₁ e R₂. Fazendo isso com cuidado em cada entrada, concluímos o processo e chegamos a
[,Imid A^-1,]Longrightarrow A^-1 ;=; 1alpha^3 - 2alpha^2 + 4alpha + 14 4 - 2alpha^2 & 4 + alpha & 4alpha + 2[5pt] 2alpha^2 + 2alpha & -7 & alpha^2 - 6alpha[5pt] alpha^3 + 2 & 2 - 3alpha & -,(2alpha^2 + 6)

Resposta

boxed A^-1 =; 1alpha^3 - 2alpha^2 + 4alpha + 14 4 - 2alpha^2 & 4 + alpha & 4alpha + 2[6pt] 2alpha^2 + 2alpha & -7 & alpha^2 - 6alpha[6pt] alpha^3 + 2 & 2 - 3alpha & -,(2alpha^2 + 6)

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