Seja o campo vetorial F=(y, x^3) e a curva orientada C formada pelo quadrilátero de vértices (0,0),(2,0),(2,1),(0,1) percorrida no sentido anti-horário.
Calcule ointC F cdot d s usando o teorema de Green, ou seja, a integral dupla.
Indique o caminho e a região de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um campo vetorial F = (y, x^3) e uma curva fechada C que forma um quadrilátero com vértices em (0,0), (2,0), (2,1) e (0,1), percorrida no sentido anti-horário. A gente precisa calcular a integral de linha ointC F cdot d s usando o Teorema de Green, que envolve transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e definir claramente a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região D limitada por C. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC F cdot d s = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Onde F = (P, Q). No nosso caso, P = y e Q = x^3.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula. Primeiro, a derivada de Q em relação a x:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^3) = 3x^2
Depois, a derivada de P em relação a y:
partial Ppartial y = partialpartial y (y) = 1
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 - 1

Passo 4

Agora, precisamos definir a região de integração D. A curva C forma um quadrilátero com vértices em (0,0), (2,0), (2,1) e (0,1). Isso significa que D é um retângulo com x variando de 0 a 2 e y variando de 0 a 1. Portanto, os limites de integração são:
0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1

Passo 5

Agora, vamos montar a integral dupla:
integral duplaD (3x^2 - 1) , dA = integral0^2 integral0^1 (3x^2 - 1) , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a y. Como a expressão 3x^2 - 1 não depende de y, a integral interna é:
integral0^1 (3x^2 - 1) , dy = (3x^2 - 1) times (1 - 0) = 3x^2 - 1
Agora, integramos em relação a x:
integral0^2 (3x^2 - 1) , dx

Passo 6

Vamos calcular essa integral:
integral0^2 (3x^2 - 1) , dx = 3 integral0^2 x^2 , dx - integral0^2 1 , dx
Calculando cada parte:
3 integral0^2 x^2 , dx = 3 [ x^33 ]0^2 = 3 ( 83 - 0 ) = 8
integral0^2 1 , dx = [ x ]0^2 = 2 - 0 = 2
Subtraindo as duas partes:
8 - 2 = 6

Resposta

A integral de linha ointC F cdot d s, calculada usando o Teorema de Green, é igual a 6.

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