Seja o campo vetorial
e o ponto
.
Calcule
no mesmo ponto.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo vetorial! A questão pede para calcular a divergência do campo vetorial
no ponto
. A matéria que vamos usar aqui é a divergência de um campo vetorial, que basicamente nos diz como o campo “espalha” ou “converge” em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. Se tivermos um campo
, a divergência é dada por:
Isso significa que a divergência é a soma das derivadas parciais de cada componente do campo em relação à sua variável correspondente.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo
:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 4
Primeira derivada parcial,
:
Porque a derivada de
em relação a
é 1, então resta o
.
Passo 5
Segunda derivada parcial,
:
Aqui,
não depende de
, então a derivada é zero.
Passo 6
Terceira derivada parcial,
:
Primeiro, vamos reescrever
para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 7
Agora, juntando tudo, a divergência é:
Passo 8
Finalmente, substituímos as coordenadas do ponto
:
Vamos calcular cada parte:
Resposta
A divergência de
no ponto
é
.