Seja o campo vetorial F=(x y, x z, raizx^2+y^2+z^2) e o ponto r0=(1,0,1).
Calcule nabla cdot F no mesmo ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo vetorial! A questão pede para calcular a divergência do campo vetorial F = (x y, x z, raizx^2+y^2+z^2) no ponto r0 = (1, 0, 1). A matéria que vamos usar aqui é a divergência de um campo vetorial, que basicamente nos diz como o campo “espalha” ou “converge” em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. Se tivermos um campo F = (F1, F2, F3), a divergência é dada por:
nabla cdot F = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z
Isso significa que a divergência é a soma das derivadas parciais de cada componente do campo em relação à sua variável correspondente.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo F:
  • F1 = x y
  • F2 = x z
  • F3 = raizx^2+y^2+z^2
Agora, vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 4

Primeira derivada parcial, partial F1partial x:
partialpartial x (x y) = y
Porque a derivada de x em relação a x é 1, então resta o y.

Passo 5

Segunda derivada parcial, partial F2partial y:
partialpartial y (x z) = 0
Aqui, x z não depende de y, então a derivada é zero.

Passo 6

Terceira derivada parcial, partial F3partial z:
Primeiro, vamos reescrever F3 para facilitar a derivação:
F3 = (x^2 + y^2 + z^2)^12
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
partialpartial z ( (x^2 + y^2 + z^2)^12 ) = 12(x^2 + y^2 + z^2)^-12 cdot 2z = zraizx^2 + y^2 + z^2

Passo 7

Agora, juntando tudo, a divergência é:
nabla cdot F = y + 0 + zraizx^2 + y^2 + z^2

Passo 8

Finalmente, substituímos as coordenadas do ponto r0 = (1, 0, 1):
  • x = 1
  • y = 0
  • z = 1
Vamos calcular cada parte:
y = 0
zraizx^2 + y^2 + z^2 = 1raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = 1raiz2

Resposta

A divergência de F no ponto (1, 0, 1) é dfrac1raiz2.

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