Seja
o campo vetorial em
dado por
.
Determine se
é conservativo e explique o motivo de não poder aplicar o teorema de Green para calcular
onde
é o círculo
;
Determine se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
definido no plano
, exceto na origem
. Precisamos descobrir se esse campo é conservativo e entender por que não dá para usar o teorema de Green para calcular a integral de linha desse campo ao longo de um círculo unitário
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial. Isso implica que a integral de linha desse campo entre dois pontos não depende do caminho escolhido, mas apenas dos pontos inicial e final.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, uma das maneiras é calcular o rotacional (ou curl) do campo. No plano
, o rotacional de
é dado por:
Se o rotacional for zero em toda a região considerada e a região for simplesmente conexa, então o campo é conservativo.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, calculando o rotacional:
Observamos que o rotacional não é zero; na verdade, ele é igual a
. Isso já nos indica que o campo
não é conservativo.
Passo 6
Mas vamos além! Mesmo que o rotacional fosse zero, precisaríamos verificar se a região onde o campo está definido é simplesmente conexa. Uma região é simplesmente conexa se qualquer ciclo dentro dela pode ser contraído a um ponto sem sair da região.
No nosso caso, a região é
menos a origem. Isso significa que há um “buraco” na origem, tornando a região não simplesmente conexa. Portanto, mesmo que o rotacional fosse zero, o campo poderia não ser conservativo devido a essa falta de simplesmente conexidade.
Passo 7
Agora, sobre o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral dupla do rotacional sobre a região delimitada por essa curva. Para aplicar o Teorema de Green, a região precisa ser simplesmente conexa e o campo vetorial deve ter derivadas parciais contínuas nessa região.
No nosso caso, a região não é simplesmente conexa porque excluímos a origem. Isso significa que não podemos usar o Teorema de Green para calcular
, já que a presença do “buraco” na origem viola uma das condições necessárias para aplicar o teorema.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo porque seu rotacional não é zero e a região considerada não é simplesmente conexa. Além disso, não podemos aplicar o Teorema de Green para calcular
, já que a região delimitada pelo círculo
não é simplesmente conexa devido à exclusão da origem.