Seja F o campo vetorial em R^2-(0,0) dado por F(x, y)=(yx^2+y^2, x^22-xx^2+y^2).
Determine se F é conservativo e explique o motivo de não poder aplicar o teorema de Green para calcular integralC F cdot d r onde C é o círculo x^2+y^2=1;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial F(x, y)=(yx^2+y^2, x^22-xx^2+y^2) definido no plano R^2, exceto na origem (0,0). Precisamos descobrir se esse campo é conservativo e entender por que não dá para usar o teorema de Green para calcular a integral de linha desse campo ao longo de um círculo unitário C: x^2+y^2=1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial. Isso implica que a integral de linha desse campo entre dois pontos não depende do caminho escolhido, mas apenas dos pontos inicial e final.

Passo 3

Para verificar se F é conservativo, uma das maneiras é calcular o rotacional (ou curl) do campo. No plano R^2, o rotacional de F = (P, Q) é dado por:
rot, F = partial Qpartial x - partial Ppartial y
Se o rotacional for zero em toda a região considerada e a região for simplesmente conexa, então o campo é conservativo.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
P = yx^2 + y^2 Rightarrow partial Ppartial y = (x^2 + y^2) cdot 1 - y cdot 2y(x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2
Q = x^22 - xx^2 + y^2 Rightarrow partial Qpartial x = x - (x^2 + y^2) cdot 1 - x cdot 2x(x^2 + y^2)^2 = x - y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Agora, calculando o rotacional:
rot, F = partial Qpartial x - partial Ppartial y = (x - y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2) - (x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2) = x
Observamos que o rotacional não é zero; na verdade, ele é igual a x. Isso já nos indica que o campo F não é conservativo.

Passo 6

Mas vamos além! Mesmo que o rotacional fosse zero, precisaríamos verificar se a região onde o campo está definido é simplesmente conexa. Uma região é simplesmente conexa se qualquer ciclo dentro dela pode ser contraído a um ponto sem sair da região.
No nosso caso, a região é R^2 menos a origem. Isso significa que há um “buraco” na origem, tornando a região não simplesmente conexa. Portanto, mesmo que o rotacional fosse zero, o campo poderia não ser conservativo devido a essa falta de simplesmente conexidade.

Passo 7

Agora, sobre o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral dupla do rotacional sobre a região delimitada por essa curva. Para aplicar o Teorema de Green, a região precisa ser simplesmente conexa e o campo vetorial deve ter derivadas parciais contínuas nessa região.
No nosso caso, a região não é simplesmente conexa porque excluímos a origem. Isso significa que não podemos usar o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r, já que a presença do “buraco” na origem viola uma das condições necessárias para aplicar o teorema.

Resposta

O campo vetorial F não é conservativo porque seu rotacional não é zero e a região considerada não é simplesmente conexa. Além disso, não podemos aplicar o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r, já que a região delimitada pelo círculo C não é simplesmente conexa devido à exclusão da origem.

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