Seja
o campo vetorial em
dado por
.
Se
é o círculo
percorrido no sentido anti-horário, calcule
; note que o resultado independe do raio do círculo. Por que é incorreto usar o teorema de Green para calcular esta integral?
Se
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem um campo vetorial
definido em
menos o ponto
. A curva
é um círculo de raio
, percorrido anti-horário. Precisamos calcular a integral de linha
. Além disso, o exercício quer que a gente observe que o resultado não depende do raio
e explique por que não dá para usar o teorema de Green aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial como integral de linha, parametrização de curvas e o próprio teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular uma integral de linha. Basicamente, a gente parametriza a curva
e substitui essa parametrização na expressão
. Como
é um círculo de raio
, uma boa parametrização é em coordenadas polares:
O vetor posição
é então
, e o diferencial
é derivado em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na expressão do campo vetorial
:
Passo 4
Em seguida, calculamos o produto escalar
:
Sabemos que
, então simplificamos para:
Passo 5
Agora, a integral de linha fica bem simples:
Perceba que o resultado
não depende do raio
, como o enunciado sugeriu.
Passo 6
Por último, vamos entender por que não dá para usar o teorema de Green aqui. O teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que ela delimita, mas isso só funciona se o campo vetorial
for conservativo e definido em toda a região interior à curva. No nosso caso,
tem uma singularidade no ponto
, que está dentro do círculo
. Isso faz com que a região não seja simplesmente conexa, invalidando as condições para aplicar o teorema de Green diretamente.
Resposta
A integral
é igual a
, independentemente do raio
.