Seja F o campo vetorial em R^2-(0,0) dado por F(x, y)=(-y, x)x^2+y^2.
Se C é o círculo x^2+y^2=R^2 percorrido no sentido anti-horário, calcule integralC F cdot d r; note que o resultado independe do raio do círculo. Por que é incorreto usar o teorema de Green para calcular esta integral?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem um campo vetorial F(x, y) = (-y, x)x^2+y^2 definido em R^2 menos o ponto (0,0). A curva C é um círculo de raio R, percorrido anti-horário. Precisamos calcular a integral de linha integralC F cdot d r. Além disso, o exercício quer que a gente observe que o resultado não depende do raio R e explique por que não dá para usar o teorema de Green aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial como integral de linha, parametrização de curvas e o próprio teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular uma integral de linha. Basicamente, a gente parametriza a curva C e substitui essa parametrização na expressão F cdot dr. Como C é um círculo de raio R, uma boa parametrização é em coordenadas polares:
x = R cos theta, y = R sin theta, theta in [0, 2pi]
O vetor posição r(theta) é então (R cos theta, R sin theta), e o diferencial dr é derivado em relação a theta:
dr = (-R sin theta, R cos theta) dtheta

Passo 3

Agora, vamos substituir x e y na expressão do campo vetorial F:
F(x, y) = (-y, x)x^2 + y^2 = (-R sin theta, R cos theta)R^2 = (-sin thetaR, cos thetaR)

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (-sin thetaR)(-R sin theta) + (cos thetaR)(R cos theta) = sin^2 theta + cos^2 theta
Sabemos que sin^2 theta + cos^2 theta = 1, então simplificamos para:
F cdot dr = 1 cdot dtheta

Passo 5

Agora, a integral de linha fica bem simples:
integralC F cdot dr = integral0^2pi 1 cdot dtheta = 2pi
Perceba que o resultado 2pi não depende do raio R, como o enunciado sugeriu.

Passo 6

Por último, vamos entender por que não dá para usar o teorema de Green aqui. O teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que ela delimita, mas isso só funciona se o campo vetorial F for conservativo e definido em toda a região interior à curva. No nosso caso, F tem uma singularidade no ponto (0,0), que está dentro do círculo C. Isso faz com que a região não seja simplesmente conexa, invalidando as condições para aplicar o teorema de Green diretamente.

Resposta

A integral integralC F cdot d r é igual a 2pi, independentemente do raio R.

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