Seja F o campo vetorial em R^2-(0,0) dado por F(x, y)=(-y, x)x^2+y^2.
Se gamma é a elipse x^2a^2+y^2b^2=1, o item (c) nos mostra que integralgamma F cdot d r=2 pi; por outro lado, podemos expressar a integral de linha usando a parametrização usual da elipse. Compare as duas expressões para obter o valor de integral0^2 pi 1a^2 cos ^2 t+b^2 sen^2 t d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um campo vetorial F(x, y) = (-y, x)x^2 + y^2 definido em R^2 menos a origem. A curva gamma é uma elipse dada por x^2a^2 + y^2b^2 = 1. Precisamos comparar duas maneiras de calcular a integral de linha integralgamma F cdot dr para encontrar o valor de integral0^2pi 1a^2 cos^2 t + b^2 sin^2 t dt. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, sabemos pelo item (c) do exercício que integralgamma F cdot dr = 2pi. Isso já nos dá uma informação importante sobre a integral de linha no campo vetorial fornecido.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a elipse gamma. Uma forma comum de fazer isso é definir:
x = a cos t e y = b sin t
onde t varia de 0 a 2pi. Com essa parametrização, o vetor diferencial dr fica:
dr = (-a sin t, b cos t) dt

Passo 4

Vamos substituir a parametrização na integral de linha:
integralgamma F cdot dr = integral0^2pi F(a cos t, b sin t) cdot (-a sin t, b cos t) dt
Substituindo F(x, y):
F(a cos t, b sin t) = (-b sin t, a cos t)a^2 cos^2 t + b^2 sin^2 t
Calculando o produto escalar:
F cdot dr = (-b sin t)(-a sin t) + (a cos t)(b cos t)a^2 cos^2 t + b^2 sin^2 t dt = a b (sin^2 t + cos^2 t)a^2 cos^2 t + b^2 sin^2 t dt
Como sin^2 t + cos^2 t = 1:
F cdot dr = a ba^2 cos^2 t + b^2 sin^2 t dt
Portanto, a integral de linha fica:
integral0^2pi a ba^2 cos^2 t + b^2 sin^2 t dt = 2pi

Passo 5

Queremos encontrar integral0^2pi 1a^2 cos^2 t + b^2 sin^2 t dt. Observando a integral que obtivemos:
a b integral0^2pi 1a^2 cos^2 t + b^2 sin^2 t dt = 2pi
Para isolar a integral desejada, dividimos ambos os lados por a b:
integral0^2pi 1a^2 cos^2 t + b^2 sin^2 t dt = 2pia b

Resposta

O valor de integral0^2pi 1a^2 cos^2 t + b^2 sin^2 t dt é 2pia b.

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