Seja
o campo vetorial em
dado por
.
Se
é a elipse
, o item (c) nos mostra que
; por outro lado, podemos expressar a integral de linha usando a parametrização usual da elipse. Compare as duas expressões para obter o valor de
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um campo vetorial
definido em
menos a origem. A curva
é uma elipse dada por
. Precisamos comparar duas maneiras de calcular a integral de linha
para encontrar o valor de
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e parametrização de curvas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, sabemos pelo item (c) do exercício que
. Isso já nos dá uma informação importante sobre a integral de linha no campo vetorial fornecido.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a elipse
. Uma forma comum de fazer isso é definir:
onde
varia de
a
. Com essa parametrização, o vetor diferencial
fica:
Passo 4
Vamos substituir a parametrização na integral de linha:
Substituindo
:
Calculando o produto escalar:
Como
:
Portanto, a integral de linha fica:
Passo 5
Queremos encontrar
. Observando a integral que obtivemos:
Para isolar a integral desejada, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
O valor de
é
.