Seja o campo vetorial → F ( x , y , z ) = 2 y z ^ x + ( x 2 z − y ) ^ y + x 2 ^ z . Determine o valor do produto entre o divergente do campo vetorial → F pelo seu rotacional para o ponto (1,0,2)
⟨ 1 , − 2 , 1 ⟩
⟨ 2 , − 2 , 1 ⟩
⟨ − 3 , 2 , 1 ⟩
⟨ − 1 , 2 , 4 ⟩
⟨ 1 , 2 , 0 ⟩

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão apresenta um campo vetorial F(x, y, z) = 2yz,x + (x^2z - y),y + x^2,z e pede para determinar o valor do produto entre o divergente de F e o rotacional de F no ponto (1, 0, 2).
O que precisamos saber:
  • Divergente do campo vetorial ( nabla cdot F): mede como o campo está “saindo” de um ponto.
  • Rotacional do campo vetorial ( nabla times F): mede a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto.
  • Produto escalar entre dois vetores: multiplica as componentes correspondentes e soma os resultados.
Vamos por partes!

Passo 2

Calculando o Divergente de F:
A fórmula para o divergente é:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos identificar cada componente de F:
  • Fx = 2yz
  • Fy = x^2z - y
  • Fz = x^2
Agora, calculamos as derivadas parciais:
  1. partial Fxpartial x = partialpartial x(2yz) = 0 (porque y e z são tratados como constantes em relação a x)
  2. partial Fypartial y = partialpartial y(x^2z - y) = -1
  3. partial Fzpartial z = partialpartial z(x^2) = 0
Somando tudo:
nabla cdot F = 0 + (-1) + 0 = -1

Passo 3

Calculando o Rotacional de F:
A fórmula para o rotacional é:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z )x + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x )y + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y )z
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente x:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partial x^2partial y - partial (x^2z - y)partial z = 0 - x^2 = -x^2
  1. Componente y:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = partial (2yz)partial z - partial x^2partial x = 2y - 2x
  1. Componente z:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partial (x^2z - y)partial x - partial (2yz)partial y = 2xz - 2z
Então, o rotacional fica:
nabla times F = (-x^2)x + (2y - 2x)y + (2xz - 2z)z

Passo 4

Avaliando o Rotacional no Ponto (1, 0, 2):
Vamos substituir x = 1, y = 0 e z = 2:
  1. Componente x:
- (1)^2 = -1
  1. Componente y:
2(0) - 2(1) = -2
  1. Componente z:
2(1)(2) - 2(2) = 4 - 4 = 0
Portanto:
nabla times F = lang<= -1, -2, 0 rang<=

Passo 5

Calculando o Produto entre o Divergente e o Rotacional:
Sabemos que:
nabla cdot F = -1
E:
nabla times F = lang<= -1, -2, 0 rang<=
O produto entre um escalar e um vetor é:
(-1) times lang<= -1, -2, 0 rang<= = lang<= 1, 2, 0 rang<=

Resposta

lang<= 1 , 2 , 0 rang<=

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