Seja o campo vetorial → F ( x , y , z ) = 2 y z ^ x + ( x 2 z − y ) ^ y + x 2 ^ z . Determine o valor do produto entre o divergente do campo vetorial → F pelo seu rotacional para o ponto (1,0,2)
⟨ 1 , − 2 , 1 ⟩
⟨ 2 , − 2 , 1 ⟩
⟨ − 3 , 2 , 1 ⟩
⟨ − 1 , 2 , 4 ⟩
⟨ 1 , 2 , 0 ⟩
⟨ 1 , − 2 , 1 ⟩
⟨ 2 , − 2 , 1 ⟩
⟨ − 3 , 2 , 1 ⟩
⟨ − 1 , 2 , 4 ⟩
⟨ 1 , 2 , 0 ⟩
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão apresenta um campo vetorial
e pede para determinar o valor do produto entre o divergente de
e o rotacional de
no ponto
.
O que precisamos saber:
- Divergente do campo vetorial (
): mede como o campo está “saindo” de um ponto. - Rotacional do campo vetorial (
): mede a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto. - Produto escalar entre dois vetores: multiplica as componentes correspondentes e soma os resultados.
Vamos por partes!
Passo 2
Calculando o Divergente de
:
A fórmula para o divergente é:
Vamos identificar cada componente de
:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
-
(porque e são tratados como constantes em relação a ) -
-
Somando tudo:
Passo 3
Calculando o Rotacional de
:
A fórmula para o rotacional é:
Vamos calcular cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então, o rotacional fica:
Passo 4
Avaliando o Rotacional no Ponto
:
Vamos substituir
,
e
:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Portanto:
Passo 5
Calculando o Produto entre o Divergente e o Rotacional:
Sabemos que:
E:
O produto entre um escalar e um vetor é: