O tempo médio, por operário de uma indústria farmacêutica, para executar uma tarefa, tem sido 100 minutos. Introduziu-se uma modificação para diminuir esse tempo e, após certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de execução gasto por cada um. O tempo médio da amostra foi 85 minutos com desvio padrão de 12 minutos. Esse resultado evidencia uma melhora no tempo gasto para realizar a tarefa? Apresente a conclusão ao nível 95% de significância e diga quais as suposições teóricas necessárias que devem ser feitas para resolver o problema. Dados:
a. t calculado = 4; reprovado.
b. t calculado = 4; aprovado.
c. t calculado = 3; reprovado.
d. t calculado = 5; reprovado.
e. t calculado = 5; aprovado.

Passo 1

Vamos analisar o problema: uma fábrica farmacêutica quer reduzir o tempo médio que cada operário leva para executar uma tarefa. O tempo médio antes da mudança era de 100 minutos. Após a modificação, foi sorteada uma amostra de 16 operários, e o tempo médio observado foi de 85 minutos, com um desvio padrão de 12 minutos. Queremos saber se essa redução no tempo é estatisticamente significativa ao nível de 95% de confiança. Para resolver isso, vamos usar o teste t de uma amostra, que nos ajuda a determinar se a média da amostra difere significativamente da média conhecida da população.

Passo 2

Primeiro, precisamos estabelecer as hipóteses do teste:
  • Hipótese Nula ( H0): A modificação não reduziu o tempo médio. $ \mu = 100 $ minutos.
  • Hipótese Alternativa ( mu = 100 ): A modificação reduziu o tempo médio. $ \mu < 100 $ minutos.
Como queremos saber se houve uma redução, é um teste unilateral à esquerda.

Passo 3

Antes de realizar o teste, é importante verificar as suposições teóricas necessárias:
  1. Normalidade: A distribuição dos tempos de execução deve ser aproximadamente normal. Com uma amostra de tamanho 16, assumimos que a distribuição é normal ou que a amostra é suficientemente grande para aplicar o Teorema Central do Limite.
  2. Amostragem Aleatória: A amostra deve ser aleatória e representativa da população.
  3. Independência: As observações devem ser independentes umas das outras.

Passo 4

Agora, vamos calcular a estatística t usando a fórmula:
t = barX - mu0sraizn
Onde:
  • $ \bar{X} = 85 $ minutos (média da amostra)
  • $ \mu_0 = 100 $ minutos (média hipotética)
  • $ s = 12 $ minutos (desvio padrão da amostra)
  • $ n = 16 $ (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
barX = 85

Passo 5

Determinar o valor crítico t para um nível de significância de 5% (95% de confiança) em um teste unilateral à esquerda com graus de liberdade $ df = n - 1 = 15 $.
Consultando a tabela t de Student, o valor crítico para $ df = 15 $ e $ \alpha = 0,05 $ é aproximadamente -1,753.

Passo 6

Comparar o t calculado com o valor crítico:
tcalculado = -5 e tcrítico = -1,753 í
Como $ t_{calculado} = -5 $ é menor que $ t_{crítico} = -1,753 $, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 7

Concluímos que há evidências suficientes para afirmar, ao nível de 95% de significância, que a modificação implementada reduziu o tempo médio de execução da tarefa.

Resposta

e. t calculado = 5; aprovado.

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