Seja T: V V(dim V um operador diagonalizável cujos autovalores têm multiplicidade algébrica 1.
a Prove que qualquer operador G: V V tal que G T=T G pode ser representado como um polinômio em T.
b Prove que a dimensão do espaço vetorial formado por tais operadores (operadores que comutam com T ) é igual a dimensão de V.

Passo 1

Estamos com um operador linear diagonalizável T:Vto V em um espaço de dimensão finita, cujos autovalores lambda1,dots,lambdan são todos distintos (multiplicidade algébrica 1). Queremos mostrar que todo operador G que comuta com T é dado por um polinômio em T e que o espaço desses operadores tem dimensão n=dim V.

Passo 2

Como T é diagonalizável com autovalores distintos, existe uma base de autovetores v1,dots,vn tal que
T(vi)=lambdai,vi, i=1,dots,n

Passo 3

Se G comuta com T, temos GT(vi)=TG(vi). Mas T(vi)=lambdai vi, logo
G(lambdai vi)=lambdai G(vi),

Passo 4

isto mostra que G(vi) é autovetor de T associado a lambdai. Como o espaço próprio de lambdai é unidimensional, só resta
G(vi)=gammai,vi

Passo 5

para algum escalar gammai. Logo, na base de autovetores, G também é diagonal: seus autovalores são gamma1,dots,gamman.

Passo 6

Queremos achar um polinômio p(x) tal que
p(lambdai)=gammai, i=1,dots,n

Passo 7

Como os lambdai são distintos, podemos usar o polinômio de interpolação de Lagrange de grau . Esse p satisfaz p(T)vi=p(lambdai)vi=gammai vi=G(vi) para todo i. Pela linearidade, conclui-se que
G=p(T)

Passo 8

Assim provamos (a).

Passo 9

Para (b), note que o conjunto de polinômios em T de grau é gerado por
I,,T,,T^2,dots,T^n-1

Passo 10

e tem dimensão n. Já mostramos que todo operador que comuta com T está nesse espaço e claramente esses n operadores são linearmente independentes. Logo o espaço dos operadores que comutam com T tem dimensão n=dim V.

Resposta

(a) Todo operador G que comuta com T satisfaz G=p(T) para um polinômio p de grau menor que dim V, construído por interpolação em lambda1,dots,lambdan. (b) O espaço desses operadores é gerado por I,T,dots,T^n-1 e, portanto, tem dimensão n=dim V.

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