Seja
um operador diagonalizável cujos autovalores têm multiplicidade algébrica 1.
a Prove que qualquer operador
tal que
pode ser representado como um polinômio em
.
b Prove que a dimensão do espaço vetorial formado por tais operadores (operadores que comutam
) é igual a dimensão de
.
a Prove que qualquer operador
b Prove que a dimensão do espaço vetorial formado por tais operadores (operadores que comutam
Passo 1
Estamos com um operador linear diagonalizável
em um espaço de dimensão finita, cujos autovalores
são todos distintos (multiplicidade algébrica 1). Queremos mostrar que todo operador
que comuta com
é dado por um polinômio em
e que o espaço desses operadores tem dimensão
.
Passo 2
Como
é diagonalizável com autovalores distintos, existe uma base de autovetores
tal que
Passo 3
Se
comuta com
, temos
. Mas
, logo
Passo 4
isto mostra que
é autovetor de
associado a
. Como o espaço próprio de
é unidimensional, só resta
Passo 5
para algum escalar
. Logo, na base de autovetores,
também é diagonal: seus autovalores são
.
Passo 6
Queremos achar um polinômio
tal que
Passo 7
Como os
são distintos, podemos usar o polinômio de interpolação de Lagrange de grau
. Esse
satisfaz
para todo
. Pela linearidade, conclui-se que
Passo 8
Assim provamos (a).
Passo 9
Para (b), note que o conjunto de polinômios em
de grau
é gerado por
Passo 10
e tem dimensão
. Já mostramos que todo operador que comuta com
está nesse espaço e claramente esses
operadores são linearmente independentes. Logo o espaço dos operadores que comutam com
tem dimensão
.
Resposta
(a) Todo operador
que comuta com
satisfaz
para um polinômio
de grau menor que
, construído por interpolação em
. (b) O espaço desses operadores é gerado por
e, portanto, tem dimensão
.