Seja S o cilindro elíptico de equação S: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1. Determine, caso exista, a interseção correspondente a cada um dos planos
y=0

Passo 1

O enunciado nos dá o cilindro elíptico
S:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1
e pede a interseção de S com o plano y=0. O conteúdo aqui é interseção de superfícies em geometria analítica: basta impor y=0 na equação do cilindro e ver o que ocorre com x e z.

Passo 2

Substituindo y=0 em
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1
fica
\frac{x^{2}}{4}+0=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm2.
O valor de z permanece livre (não aparece na equação), então a interseção são duas retas paralelas ao eixo z.

Resposta

A interseção existe e é a união de duas linhas paralelas ao eixo z no plano y=0:
\{(2,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\} \quad\text{e}\quad \{(-2,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.

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