Seja S o cilindro elíptico de equação S: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1. Determine, caso exista, a interseção correspondente a cada um dos planos
z=0

Passo 1

O enunciado define o cilindro elíptico
S:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1
que se estende paralelamente ao eixo z. Pede-se a curva de interseção de S com o plano
z=0.

Passo 2

Para obter a interseção, impomos simultaneamente as equações do cilindro e do plano. Logo, os pontos de interseção satisfazem
\begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1,\\\ z=0. \end{cases}

Passo 3

A primeira equação é a de uma elipse no plano xy, e a segunda fixa z=0. Portanto, a interseção é precisamente essa elipse situada em z=0.

Resposta

A interseção é a curva
\bigl\{(x,y,0)\in\mathbb{R}^{3}\mid \tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{y^{2}}{16}=1\bigr\},
ou seja, a elipse de semi-eixos 2 em x e 4 em y, no plano z=0.

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