Seja S o cilindro hiperbólico de equação S: \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1. Determine, caso exista, a interseção correspondente a cada um dos planos
y=0

Passo 1

O enunciado define o cilindro hiperbólico S por
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1,
que é independente de z. Pede-se a interseção de S com o plano y=0. Vamos obter essa interseção por substituição direta de y=0.

Passo 2

Substituindo y=0 na equação de S obtemos
\frac{x^{2}}{4}-\frac{0^{2}}{16}=1,
ou seja,
\frac{x^{2}}{4}=1.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 4 surge
x^{2}=4,
cuja solução é
x=2\quad\text{ou}\quad x=-2.

Passo 4

Não há nenhuma restrição sobre z, portanto cada valor de x gera uma reta paralela ao eixo z. Concluímos que a interseção é a união de duas retas.

Resposta

A interseção de S com o plano y=0 é
\{(2,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}\;\cup\;\{(-2,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\},
ou seja, as retas x=2,\;y=0 e x=-2,\;y=0, para todo z\in\mathbb{R}.

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