Seja S o cilindro hiperbólico de equação S: \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1. Determine, caso exista, a interseção correspondente a cada um dos planos
z=0

Passo 1

O enunciado dá o cilindro hiperbólico
S:\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1
que não depende de z (ou seja, é gerado por uma hipérbole no plano xy e se estende paralelamente ao eixo z). Pede-se a interseção de S com o plano
z=0.

Passo 2

Como a equação de S não envolve z, ao impor z=0 a única coisa que muda é fixarmos a coordenada z. Logo, na interseção devemos ter simultaneamente
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1 \quad\text{e}\quad z=0.

Passo 3

A curva resultante é portanto descrita por
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1, \quad z=0.

Passo 4

Reconhecemos em
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1
uma hipérbole centrada na origem do plano xy, com semi-eixo transverso a=2 (no eixo x) e semi-eixo conjugado b=4 (no eixo y). As assíntotas dessa hipérbole são
y=\pm 2x.

Resposta

A interseção de S com o plano z=0 é a hipérbole
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1
no plano z=0, ou seja
\{(x,y,0)\mid \tfrac{x^{2}}{4}-\tfrac{y^{2}}{16}=1\}.

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