Seja S o cilindro parabólico de equação S: \frac{z^{2}}{4}=y. Determine, caso exista, a interseção correspondente a cada um dos planos
x=2

Passo 1

O enunciado dá o cilindro parabólico
S:\;\frac{z^{2}}{4}=y
e pede a interseção de S com o plano x=2. O que vamos precisar é simplesmente impor simultaneamente as equações de S e do plano para obter a curva resultante.

Passo 2

Para a interseção, impomos
x=2
e
\frac{z^{2}}{4}=y.

Passo 3

Da segunda equação vem
y=\tfrac{z^{2}}{4},
portanto a interseção é o conjunto
\bigl\{(2,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y=\tfrac{z^{2}}{4}\bigr\},
que é uma parábola no plano x=2.

Resposta

A interseção existe e é a parábola
y=\tfrac{z^{2}}{4}
no plano x=2, que pode ser parametrizada por
\mathbf{r}(t)=\bigl(2,\tfrac{t^{2}}{4},t\bigr),\quad t\in\mathbb{R}.

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