Seja S o cilindro parabólico de equação S: \frac{z^{2}}{4}=y. Determine, caso exista, a interseção correspondente a cada um dos planos
y=1

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície S definida por
\frac{z^{2}}{4}=y,
que é um cilindro parabólico paralelo ao eixo x. Pede-se a curva de interseção de S com o plano
y=1.
Para resolver, vamos substituir y=1 na equação de S e ver que tipo de curva isso gera.

Passo 2

Substituindo y=1 em
\frac{z^{2}}{4}=y
obtém-se
\frac{z^{2}}{4}=1.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 4, vem
z^{2}=4,
cuja solução é
z=2\quad\text{ou}\quad z=-2.

Passo 4

Não há restrição sobre x, de modo que x pode ser qualquer número real. Para cada escolha de z temos, então, uma reta paralela ao eixo x no plano y=1. Em forma paramétrica, as duas retas são
L_1=\{(x,1,2)\mid x\in\mathbb{R}\}, \quad L_2=\{(x,1,-2)\mid x\in\mathbb{R}\}.

Resposta

A interseção de S com o plano y=1 existe e é a união das retas
L_1=\{(x,1,2)\mid x\in\mathbb{R}\} \quad\text{e}\quad L_2=\{(x,1,-2)\mid x\in\mathbb{R}\}.

Exercícios relacionados