Seja f(z)=u(x, y)+i v(x, y) uma função inteira. Suponha que existe um número real u_{0} tal que
u(x, y) \leq u_{0} \quad \text { para todos } x, y \in \mathbb{R}
Prove que u(x, y) é constante. Sugestão: considere e^{f(z)}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada uma função inteira f escrita como f(z)=u(x,y)+i v(x,y), onde (x,y) correspondem a z=x+iy.
  • Existe um número real \,u_{0}\, tal que
u(x,y)\le u_{0}\quad\text{para todos }x,y\in\mathbb{R}.
  • Pergunta: provar que u(x,y) é constante (isto é, a parte real de f não depende de x,y).

Passo 2

Ideia inicial (sem resolver ainda): usar a função exponencial composta com f. Defina
g(z)=e^{f(z)}.
Vou explicar por que isso é uma boa ideia: para um número complexo w=u+iv vale a identidade
e^{w}=e^{u+iv}=e^{u}(\cos v + i\sin v),
então o módulo satisfaz
\lvert e^{w}\rvert = e^{u}.
Aplicando isto a w=f(z) teremos \lvert g(z)\rvert = e^{u(x,y)}, que fica controlado pela hipótese u\le u_{0}. Antes de usar isso formalmente, explico que g é inteira: a função exponencial é inteira e f é inteira, e a composição de funções inteiras é inteira, logo g é uma função inteira.

Passo 3

Mostro que g é limitada (bounded). Usando a hipótese \,u(x,y)\le u_{0}\, e a observação do passo anterior, para todo z\in\mathbb{C} temos
\lvert g(z)\rvert = \lvert e^{f(z)}\rvert = e^{u(x,y)} \le e^{u_{0}}.
Portanto g é inteira e limitada pela constante M:=e^{u_{0}}.

Passo 4

Aplicar o teorema de Liouville. Vou enunciar e dar uma prova curta e intuitiva desse teorema, porque é o ponto chave:
Enunciado de Liouville: se h é uma função inteira e limitada em \mathbb{C} então h é constante.
Prova (esquema com fórmula de Cauchy): seja h inteira e \lvert h(z)\rvert\le M para todo z. Pela fórmula integral de Cauchy para derivadas,
h'(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta-z_{0}|=R} \frac{h(\zeta)}{(\zeta-z_{0})^{2}}\,d\zeta.
No círculo de raio R em torno de z_{0} o módulo do integrando é no máximo M/R^{2}, e o comprimento do caminho é 2\pi R. Assim
\lvert h'(z_{0})\rvert \le \frac{1}{2\pi}\cdot 2\pi R\cdot \frac{M}{R^{2}} = \frac{M}{R}.
Como h é inteira podemos fazer R\to\infty, obtendo \lvert h'(z_{0})\rvert \le 0, ou seja h'(z_{0})=0. Isso vale para todo z_{0}, logo h'\equiv 0 e h é constante. (Fim da prova.)

Passo 5

Aplicando Liouville à função g do passo 2, que vimos ser inteira e limitada, concluímos que g é constante. Ou seja, existe um número complexo c tal que
e^{f(z)}=c\quad\text{para todo }z\in\mathbb{C}.
Observação: c\neq 0, porque a exponencial complexa nunca é zero (para todo w\in\mathbb{C} tem-se e^{w}\neq 0).

Passo 6

Mostrar que f é constante a partir de e^{f} constante. Escolha um w_{0}\in\mathbb{C} tal que e^{w_{0}}=c (existe pelo caráter sobrejetor da exponencial sobre \mathbb{C} modulo 2\pi i ou simplesmente por definição de logaritmo multivalorado). Defina
h(z)=f(z)-w_{0}.
Então e^{h(z)}=1 para todo z. Isso implica que para todo z vale
h(z)\in 2\pi i\mathbb{Z},
isto é, h só assume valores da forma 2\pi i k com k\in\mathbb{Z}.
Agora use uma observação topológica simples: h é contínua (pois f é inteira) e \mathbb{C} é conexo. A imagem contínua de um conjunto conexo é conectada; mas o conjunto 2\pi i\mathbb{Z} é discreto (não é conexo a menos que seja um único ponto). A única forma da imagem de uma função contínua de um conjunto conectado caber dentro de um conjunto discreto é que a imagem seja um único ponto. Ou, dito de forma mais elementar: se existissem pontos z_{1},z_{2} com h(z_{1})=2\pi i k_{1} e h(z_{2})=2\pi i k_{2} com k_{1}\ne k_{2}, pela continuidade haveria pontos intermediários onde h assumiria valores fora de 2\pi i\mathbb{Z}, contradizendo e^{h}\equiv 1. Logo h é constante, digamos h\equiv 2\pi i k. Assim
f(z)=w_{0}+2\pi i k
para todo z, ou seja, f é constante.

Passo 7

Conclua sobre u. Se f é constante então a sua parte real u(x,y) também é constante. Portanto a afirmação do enunciado está provada: a função u(x,y) é constante em \mathbb{R}^{2}.

Resposta

u(x,y) é constante.

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