Seja
uma função inteira. Suponha que existe um número real
tal que
Prove que
é constante. Sugestão: considere
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada uma função inteira
escrita como , onde correspondem a . - Existe um número real
tal que
- Pergunta: provar que
é constante (isto é, a parte real de não depende de ).
Passo 2
Ideia inicial (sem resolver ainda): usar a função exponencial composta com
. Defina
Vou explicar por que isso é uma boa ideia: para um número complexo
vale a identidade
então o módulo satisfaz
Aplicando isto a
teremos
, que fica controlado pela hipótese
. Antes de usar isso formalmente, explico que
é inteira: a função exponencial é inteira e
é inteira, e a composição de funções inteiras é inteira, logo
é uma função inteira.
Passo 3
Mostro que
é limitada (bounded). Usando a hipótese
e a observação do passo anterior, para todo
temos
Portanto
é inteira e limitada pela constante
.
Passo 4
Aplicar o teorema de Liouville. Vou enunciar e dar uma prova curta e intuitiva desse teorema, porque é o ponto chave:
Enunciado de Liouville: se
é uma função inteira e limitada em
então
é constante.
Prova (esquema com fórmula de Cauchy): seja
inteira e
para todo
. Pela fórmula integral de Cauchy para derivadas,
No círculo de raio
em torno de
o módulo do integrando é no máximo
, e o comprimento do caminho é
. Assim
Como
é inteira podemos fazer
, obtendo
, ou seja
. Isso vale para todo
, logo
e
é constante. (Fim da prova.)
Passo 5
Aplicando Liouville à função
do passo 2, que vimos ser inteira e limitada, concluímos que
é constante. Ou seja, existe um número complexo
tal que
Observação:
, porque a exponencial complexa nunca é zero (para todo
tem-se
).
Passo 6
Mostrar que
é constante a partir de
constante. Escolha um
tal que
(existe pelo caráter sobrejetor da exponencial sobre
modulo
ou simplesmente por definição de logaritmo multivalorado). Defina
Então
para todo
. Isso implica que para todo
vale
isto é,
só assume valores da forma
com
.
Agora use uma observação topológica simples:
é contínua (pois
é inteira) e
é conexo. A imagem contínua de um conjunto conexo é conectada; mas o conjunto
é discreto (não é conexo a menos que seja um único ponto). A única forma da imagem de uma função contínua de um conjunto conectado caber dentro de um conjunto discreto é que a imagem seja um único ponto. Ou, dito de forma mais elementar: se existissem pontos
com
e
com
, pela continuidade haveria pontos intermediários onde
assumiria valores fora de
, contradizendo
. Logo
é constante, digamos
. Assim
para todo
, ou seja,
é constante.
Passo 7
Conclua sobre
. Se
é constante então a sua parte real
também é constante. Portanto a afirmação do enunciado está provada: a função
é constante em
.