Seja a composição de transformação S=T circ U: R^3 R^2, definida pela rotação de 45^circ em torno do eixo x e então pela projeção sobre o plano yz determine:
a matriz transformação padrão de U

Passo 1

O enunciado pede a matriz padrão de UcolonR^3toR^3, que é a rotação de 45^circ em torno do eixo x. Vamos usar o fato de que, em rotações em torno de um eixo coordenado, a componente desse eixo fica inalterada e as outras duas são submetidas à rotação usual em R^2.

Passo 2

Em uma rotação de ângulo theta em torno do eixo x, o vetor (x,y,z) vai em
(x,;ycostheta - zsintheta,;ysintheta + zcostheta)
Isso significa que, na base canônica e1,e2,e3, temos:
  • A primeira linha é (1,0,0) pois x fica igual.
  • Nas componentes y,z aplicamos a matriz de rotação em R^2:
costheta & -sintheta sintheta & costheta

Passo 3

Aqui theta=45^circ, isto é, theta=pi/4. Logo
costheta = raiz22, sintheta = raiz22
Substituindo, a matriz padrão de U é
U = 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & -raiz22 0 & raiz22 & raiz22

Resposta

U = 1 & 0 & 0 0 & tfracraiz22 & -tfracraiz22 0 & tfracraiz22 & tfracraiz22

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