Seja C4: y^2+6 y-8 x+1=0
Qual é a cônica descrita pela equação?

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
C4: y^2 + 6y - 8x + 1 = 0
e pede que identifiquemos que tipo de cônica é. Para isso, vamos completar o quadrado em y e colocar a equação em forma canônica, o que nos permite classificar a curva.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em y. Escrevemos
y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9
Substituindo na equação de C4, temos
(y+3)^2 - 9 - 8x + 1 = 0

Passo 3

Reorganizando os termos,
(y+3)^2 = 8x + 8 Longrightarrow (y+3)^2 = 8,(x+1)
Essa forma é exatamente a forma canônica de uma parábola com eixo paralelo ao eixo x.

Passo 4

Comparando com a forma padrão de parábola
(y - k)^2 = 4p,(x - h),
vemos que h = -1, k = -3 e 4p = 8, logo p = 2. Portanto, trata-se de uma parábola cujo vértice é (-1,-3), com eixo horizontal e aberta para a direita.

Resposta

Parábola.

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