Sejam Mn(R) o espaço das matrizes quadradas de ordem n com coeficientes reais, A in Mn(R) uma matriz qualquer fixada e T: Mn(R) longrightarrow Mn(R) uma aplicação dada por
T(X)=A X+X A
Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre matrizes quadradas de ordem n com coeficientes reais, chamadas Mn(R) . Temos uma matriz fixa A nessa coleção e uma aplicação T que pega qualquer matriz X e transforma em T(X) = A X + X A . Nosso objetivo aqui é mostrar que T é uma transformação linear. Ou seja, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se T satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer matrizes U e V em Mn(R) e qualquer escalar c , as seguintes duas condições forem verdadeiras:
  1. Adição: T(U + V) = T(U) + T(V)
  2. Homogeneidade: T(c U) = c T(U)
Então, para mostrar que T é linear, precisamos verificar essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: Adição. Precisamos mostrar que:
T(U + V) = T(U) + T(V)
Calculando T(U + V) :
T(U + V) = A(U + V) + (U + V)A = AU + AV + UA + VA
Agora, calculando T(U) + T(V) :
T(U) + T(V) = (AU + UA) + (AV + VA) = AU + UA + AV + VA
Observamos que ambos os lados são iguais:
T(U + V) = T(U) + T(V)
Isso confirma que a propriedade de adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade: Homogeneidade. Precisamos mostrar que:
T(c U) = c T(U)
Calculando T(c U) :
T(c U) = A(c U) + (c U)A = c (A U) + c (U A) = c (A U + U A) = c T(U)
Assim, também vimos que:
T(c U) = c T(U)
Portanto, a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades de uma transformação linear foram verificadas ( T(U + V) = T(U) + T(V) e T(c U) = c T(U) ), podemos concluir que T é, de fato, uma transformação linear.

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