Sejam
o espaço das matrizes quadradas de ordem n com coeficientes reais,
uma matriz qualquer fixada e
uma aplicação dada por
Mostre que
é uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre matrizes quadradas de ordem
com coeficientes reais, chamadas
. Temos uma matriz fixa
nessa coleção e uma aplicação
que pega qualquer matriz
e transforma em
. Nosso objetivo aqui é mostrar que
é uma transformação linear. Ou seja, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer matrizes
e
em
e qualquer escalar
, as seguintes duas condições forem verdadeiras:
- Adição:
- Homogeneidade:
Então, para mostrar que
é linear, precisamos verificar essas duas propriedades.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: Adição. Precisamos mostrar que:
Calculando
:
Agora, calculando
:
Observamos que ambos os lados são iguais:
Isso confirma que a propriedade de adição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade: Homogeneidade. Precisamos mostrar que:
Calculando
:
Assim, também vimos que:
Portanto, a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades de uma transformação linear foram verificadas (
e
), podemos concluir que
é, de fato, uma transformação linear.