Seja C2: x^2+y^2+6 x-8 y=0
Quais as coordenadas do centro, vértices e foco(s)?

Passo 1

O enunciado dá a curva
x^2+y^2+6x-8y=0
e pede o centro, os vértices e os foco(s). Para isso vamos completar quadrados, escrever em forma padrão e identificar os parâmetros de uma elipse (que neste caso é um círculo, pois os semi-eixos são iguais).

Passo 2

Complete os quadrados de x e de y:
x^2+6x = (x+3)^2-9, y^2-8y = (y-4)^2-16
Substituindo na equação original:
(x+3)^2-9 + (y-4)^2-16 = 0 Longrightarrow (x+3)^2 + (y-4)^2 = 25

Passo 3

Escrevendo em forma de elipse teremos
(x+3)^225 + (y-4)^225 = 1,
logo os semi-eixos são
a = 5, b = 5
O centro é
(-3,,4)

Passo 4

Os vértices de uma elipse são os extremos dos eixos maior e menor. Como a=b=5, temos quatro vértices:
l(-3pm 5,,4r) ;Longrightarrow; (-8,4) e (2,4),
l(-3,,4pm 5r) ;Longrightarrow; (-3,-1) e (-3,9)

Passo 5

O parâmetro focal é
c = raiza^2-b^2 = raiz5^2-5^2 = 0,
logo ambos os focos coincidem no centro da elipse (círculo):
(-3,,4)

Resposta

Centro: (-3,,4)
Vértices: (-8,4), (2,4), (-3,-1), (-3,9)
Foco (único): (-3,,4)

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