Seja um conjunto E de 32 pessoas de língua francesa, das quais 18 conhecem o alemão, e 24 o inglês. Todas as pessoas falam pelo menos uma das duas línguas, alemão ou inglês.
- Quantas pessoas de E conhecem ao mesmo tempo o alemão e o inglês?
- Deseja-se encontrar em E para servir de intérprete:
- uma pessoa falando ao mesmo tempo o alemão e o inglês,
- duas pessoas, uma que fale somente o inglês, a outra somente o alemão. De quantas maneiras se pode fazer esta escolha?
Passo 1
O enunciado nos dá um conjunto
de
pessoas, das quais
conhecem alemão e
conhecem inglês, sabendo ainda que todo mundo fala pelo menos uma das duas línguas. Precisamos calcular primeiro o número de pessoas que falam ambas as línguas e, em seguida, contar de quantas maneiras podemos escolher um intérprete bilíngue, um que fale só inglês e um que fale só alemão.
Passo 2
Para achar
, onde
é o conjunto dos que falam alemão e
o dos que falam inglês, usamos o princípio da inclusão-exclusão:
Como
tem
, temos
Passo 3
O número de pessoas que falam somente inglês é
e o de pessoas que falam somente alemão é
Passo 4
Para escolher os intérpretes, precisamos selecionar 1 pessoa bilíngue, 1 pessoa que fale só inglês e 1 que fale só alemão. O número de maneiras é
Resposta
(1)
(2)
(2)