Seja um conjunto E de 32 pessoas de língua francesa, das quais 18 conhecem o alemão, e 24 o inglês. Todas as pessoas falam pelo menos uma das duas línguas, alemão ou inglês.
  1. Quantas pessoas de E conhecem ao mesmo tempo o alemão e o inglês?
  2. Deseja-se encontrar em E para servir de intérprete:
  • uma pessoa falando ao mesmo tempo o alemão e o inglês,
  • duas pessoas, uma que fale somente o inglês, a outra somente o alemão. De quantas maneiras se pode fazer esta escolha?

Passo 1

O enunciado nos dá um conjunto E de 32 pessoas, das quais 18 conhecem alemão e 24 conhecem inglês, sabendo ainda que todo mundo fala pelo menos uma das duas línguas. Precisamos calcular primeiro o número de pessoas que falam ambas as línguas e, em seguida, contar de quantas maneiras podemos escolher um intérprete bilíngue, um que fale só inglês e um que fale só alemão.

Passo 2

Para achar \lvert G\cap I\rvert, onde G é o conjunto dos que falam alemão e I o dos que falam inglês, usamos o princípio da inclusão-exclusão:
\lvert G\cup I\rvert \;=\;\lvert G\rvert + \lvert I\rvert - \lvert G\cap I\rvert.
Como G\cup I=E tem \lvert G\cup I\rvert=32, temos
32 = 18 + 24 - \lvert G\cap I\rvert \quad\Longrightarrow\quad \lvert G\cap I\rvert = 10.

Passo 3

O número de pessoas que falam somente inglês é
\lvert I\setminus G\rvert = \lvert I\rvert - \lvert G\cap I\rvert = 24 - 10 = 14,
e o de pessoas que falam somente alemão é
\lvert G\setminus I\rvert = \lvert G\rvert - \lvert G\cap I\rvert = 18 - 10 = 8.

Passo 4

Para escolher os intérpretes, precisamos selecionar 1 pessoa bilíngue, 1 pessoa que fale só inglês e 1 que fale só alemão. O número de maneiras é
\binom{10}{1}\times \binom{14}{1}\times \binom{8}{1} =10\times 14\times 8 =1120.

Resposta

(1) 10
(2) 1120

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