Sejam A e B duas partes de um conjunto E . Se \mathrm{A} \subset \mathrm{B}, o que podemos dizer do \overline{\mathrm{B}} em relação a \overline{\mathrm{A}} ?
Passo 1
O enunciado diz que A e B são subconjuntos de um espaço E e que A\subset B. A pergunta é qual a relação entre o fecho de B e o fecho de A. Vamos usar o conceito de fecho em topologia e sua propriedade de monotonicidade.
Passo 2
Por definição, o fecho de um conjunto X, denotado \overline{X}, é a menor parte fechada de E que contém X. Equivalentemente, é a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm X.
Passo 3
Uma propriedade fundamental do operador fecho é a monotonicidade: se X\subset Y, então
\overline{X}\subset\overline{Y}.
Passo 4
Aplicando essa propriedade aos conjuntos A e B, com A\subset B, obtemos