Seja
o conjunto das duplas de números reais
, onde o elemento nulo é dado por
e o negativo de
dado pela multiplicação
. Em cada caso, verifique se o conjunto
com as definições de soma e multiplicação por escalares correspondentes forma um espaço vetorial. Caso o conjunto não seja um espaço vetorial, verifique quais axiomas não são satisfeitos.
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
Queremos ver se
satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Verificamos a comutatividade da soma. Tome
. Então
Em geral
, logo a soma não é comutativa.
Passo 3
Verificamos o elemento neutro aditivo. O enunciado sugere
, mas
que só coincide com
se
, o que não vale para todo
.
Portanto não existe elemento neutro para a soma conforme definida.
Portanto não existe elemento neutro para a soma conforme definida.
Passo 4
Sem neutro aditivo não faz sentido falar de inverso aditivo, mas de qualquer forma o “inverso” dado por
não satisfaz
. De fato
em geral.
Resposta
- comutatividade da soma;
- existência de elemento neutro aditivo;
- existência de inversos aditivos.