Seja S o conjunto das duplas de números reais (x1, x2), onde o elemento nulo é dado por (0,0) e o negativo de (x1, x2) dado pela multiplicação (-1) cdot(x1, x2). Em cada caso, verifique se o conjunto S com as definições de soma e multiplicação por escalares correspondentes forma um espaço vetorial. Caso o conjunto não seja um espaço vetorial, verifique quais axiomas não são satisfeitos.
(x1, x2)+(y1, y2)=(x1+x2, x1), a cdot(x1, x2)=(a cdot x1, a cdot x2).

Passo 1

O enunciado define o conjunto S=(x1,x2)mid x1,x2inR com as operações
(x1,x2)+(y1,y2) = (,x1+x2,,x1,) e acdot(x1,x2) = (,a,x1,,a,x2,)
Queremos ver se (S,+,cdot) satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre R.

Passo 2

Verificamos a comutatividade da soma. Tome (x1,x2), (y1,y2)in S. Então
(x1,x2)+(y1,y2) = (,x1+x2,,x1,) e (y1,y2)+(x1,x2) = (,y1+y2,,y1,)
Em geral (x1+x2,x1)neq(y1+y2,y1), logo a soma não é comutativa.

Passo 3

Verificamos o elemento neutro aditivo. O enunciado sugere (0,0), mas
(x1,x2)+(0,0) = (,x1+0,,x1,) = (,x1,,x1,),
que só coincide com (x1,x2) se x1=x2, o que não vale para todo (x1,x2).
Portanto não existe elemento neutro para a soma conforme definida.

Passo 4

Sem neutro aditivo não faz sentido falar de inverso aditivo, mas de qualquer forma o “inverso” dado por
(-1)cdot(x1,x2) = (-x1,-x2)
não satisfaz (x1,x2)+(-x1,-x2)=(0,0). De fato
(x1,x2)+(-x1,-x2) = (,x1+x2,,x1,)neq(0,0)
em geral.

Resposta

(S,+,cdot) não é um espaço vetorial. Faltam ao menos os seguintes axiomas de soma:
  • comutatividade da soma;
  • existência de elemento neutro aditivo;
  • existência de inversos aditivos.

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