Seja
o conjunto das duplas de números reais
, onde o elemento nulo é dado por
e o negativo de
dado pela multiplicação
. Em cada caso, verifique se o conjunto
com as definições de soma e multiplicação por escalares correspondentes forma um espaço vetorial. Caso o conjunto não seja um espaço vetorial, verifique quais axiomas não são satisfeitos.
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a soma usual
e a multiplicação por escalar
.
Queremos ver se esses dois operações fazem de um espaço vetorial sobre
.
e a multiplicação por escalar
Queremos ver se esses dois operações fazem de
Passo 2
Primeiro, conferimos que
é um grupo abeliano:
- Fechamento e associatividade vêm da soma componente a componente em
. - Comutatividade é óbvia em soma de pares.
- O elemento neutro é
, pois
. - Para cada
o inverso aditivo é , pois
.
Passo 3
Agora checamos as propriedades envolvendo escalares:
- Distributividade sobre soma de vetores:
e
- Distributividade sobre soma de escalares:
e
- Compatibilidade de produto de escalares:
- Multiplicação por zero escalar dá o vetor nulo:
Passo 4
Falta apenas verificar o axioma do escalar identidade: deveria valer
Mas pela definição
que só coincide com
quando
. Logo o axioma
não vale em geral.
Resposta
O par
não é espaço vetorial, pois falha o axioma da identidade escalar
.