Seja S o conjunto das duplas de números reais (x1, x2), onde o elemento nulo é dado por (0,0) e o negativo de (x1, x2) dado pela multiplicação (-1) cdot(x1, x2). Em cada caso, verifique se o conjunto S com as definições de soma e multiplicação por escalares correspondentes forma um espaço vetorial. Caso o conjunto não seja um espaço vetorial, verifique quais axiomas não são satisfeitos.
(x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2), a cdot(x1, x2)=(a cdot x1, 0).

Passo 1

O enunciado define o conjunto S=(x1,x2)mid x1,x2inR com a soma usual
,(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,,x2+y2)
e a multiplicação por escalar
,acdot(x1,x2)=(a,x1,,0).
Queremos ver se esses dois operações fazem de S um espaço vetorial sobre R.

Passo 2

Primeiro, conferimos que (S,+) é um grupo abeliano:
  • Fechamento e associatividade vêm da soma componente a componente em R^2.
  • Comutatividade é óbvia em soma de pares.
  • O elemento neutro é (0,0), pois
    ,(x1,x2)+(0,0)=(x1,x2).
  • Para cada (x1,x2) o inverso aditivo é (-x1,-x2), pois
    ,(x1,x2)+(-x1,-x2)=(0,0).

Passo 3

Agora checamos as propriedades envolvendo escalares:
  1. Distributividade sobre soma de vetores:
acdotl((x1,x2)+(y1,y2)r) =(a(x1+y1),0) =(a x1+a y1,0)
e
acdot(x1,x2)+acdot(y1,y2) =(a x1,0)+(a y1,0) =(a x1+a y1,0)
  1. Distributividade sobre soma de escalares:
(a+b)cdot(x1,x2) =((a+b)x1,0) =(a x1+b x1,0)
e
acdot(x1,x2)+bcdot(x1,x2) =(a x1,0)+(b x1,0) =(a x1+b x1,0)
  1. Compatibilidade de produto de escalares:
acdotl(bcdot(x1,x2)r) =acdot(b x1,0) =(a b x1,0) =(ab)cdot(x1,x2)
  1. Multiplicação por zero escalar dá o vetor nulo:
0cdot(x1,x2)=(0cdot x1,0)=(0,0)

Passo 4

Falta apenas verificar o axioma do escalar identidade: deveria valer
1cdot(x1,x2)=(x1,x2)
Mas pela definição
1cdot(x1,x2)=(1cdot x1,0)=(x1,0),
que só coincide com (x1,x2) quando x2=0. Logo o axioma
,1cdot v = v não vale em geral.

Resposta

O par (S,+,cdot) não é espaço vetorial, pois falha o axioma da identidade escalar 1cdot v=v.

Exercícios relacionados