Seja S o conjunto das duplas de números reais (x1, x2), onde o elemento nulo é dado por (0,0) e o negativo de (x1, x2) dado pela multiplicação (-1) cdot(x1, x2). Em cada caso, verifique se o conjunto S com as definições de soma e multiplicação por escalares correspondentes forma um espaço vetorial. Caso o conjunto não seja um espaço vetorial, verifique quais axiomas não são satisfeitos.
(x1, x2)+(y1, y2)=(|x1+y1|,|x2+y2|), a cdot(x1, x2)=(|a cdot x1|,|a cdot x2|).

Passo 1

O enunciado define em S=R^2 as operações
(x1,x2)+(y1,y2)=l(|x1+y1|,;|x2+y2|r),
acdot(x1,x2)=l(|a,x1|,;|a,x2|r),
e pede para verificar se (S,+,cdot) é espaço vetorial real. Vamos checar os axiomas de espaço vetorial: fechamento, comutatividade, associatividade, elemento neutro, inverso aditivo e propriedades da multiplicação por escalar.

Passo 2

Fechamento e comutatividade da soma
  • Fechamento: se (x1,x2) e (y1,y2) estão em R^2, então xi+yiinR e lvert xi+yirvertinR. Logo, (x1,x2)+(y1,y2)in S.
  • Comutatividade:
(x1,x2)+(y1,y2) =l(|x1+y1|,;|x2+y2|r) =l(|y1+x1|,;|y2+x2|r) =(y1,y2)+(x1,x2)

Passo 3

Associatividade da soma
Para ser associativa, deveríamos ter
l(x+(y+z)r)1 =l((x+y)+zr)1 forall x,y,zin S
Mas, por exemplo, tome x1=1, y1=1, z1=-3. Então
y+z=l(|1+(-3)|,dotsr)=(2,dots), x+(y+z)=(|1+2|,dots)=(3,dots),
ao passo que
x+y=(|1+1|,dots)=(2,dots), (x+y)+z=(|2+(-3)|,dots)=(1,dots)
Como 3neq1, a soma não é associativa.

Passo 4

Elemento neutro aditivo
O candidato natural é (0,0). Mas
(0,0)+(x1,x2) =l(|0+x1|,;|0+x2|r) =(|x1|,|x2|),
que só coincide com (x1,x2) se x1,x2>=0. Logo não existe elemento neutro que funcione para todo vetor.

Passo 5

Inverso aditivo
O inverso de (x1,x2) deveria ser (w1,w2) tal que
(x1,x2)+(w1,w2)=(0,0)
Isto exige xi+wi=0, i.e.\ wi=-xi. Mas o ``negativo'' dado no enunciado é
-1cdot(x1,x2)=(|-1,x1|,|-1,x2|) =(|x1|,|x2|),
que raramente satisfaz xi+|xi|=0. Portanto não há inverso aditivo compatível.

Passo 6

Identidade na multiplicação por escalar
Deveríamos ter
1cdot(x1,x2)=(x1,x2)
Mas
1cdot(x1,x2) =l(|1cdot x1|,;|1cdot x2|r) =(|x1|,|x2|),
que só coincide com (x1,x2) quando x1,x2>=0. Logo falha também a propriedade do escalar 1.

Resposta

O conjunto S com essas operações não é espaço vetorial. Falham pelo menos os seguintes axiomas:
  • associatividade da soma,
  • existência de elemento neutro e inverso aditivo,
  • propriedade 1cdot v=v.

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