Seja
o conjunto das duplas de números reais
, onde o elemento nulo é dado por
e o negativo de
dado pela multiplicação
. Em cada caso, verifique se o conjunto
com as definições de soma e multiplicação por escalares correspondentes forma um espaço vetorial. Caso o conjunto não seja um espaço vetorial, verifique quais axiomas não são satisfeitos.
.
Passo 1
O enunciado define em
as operações
e pede para verificar se
é espaço vetorial real. Vamos checar os axiomas de espaço vetorial: fechamento, comutatividade, associatividade, elemento neutro, inverso aditivo e propriedades da multiplicação por escalar.
Passo 2
Fechamento e comutatividade da soma
- Fechamento: se
e estão em , então e . Logo, . - Comutatividade:
Passo 3
Associatividade da soma
Para ser associativa, deveríamos ter
Para ser associativa, deveríamos ter
Mas, por exemplo, tome
,
,
. Então
ao passo que
Como
, a soma não é associativa.
Passo 4
Elemento neutro aditivo
O candidato natural é . Mas
O candidato natural é
que só coincide com
se
. Logo não existe elemento neutro que funcione para todo vetor.
Passo 5
Inverso aditivo
O inverso de deveria ser
tal que
O inverso de
Isto exige
, i.e.\
. Mas o ``negativo'' dado no enunciado é
que raramente satisfaz
. Portanto não há inverso aditivo compatível.
Passo 6
Identidade na multiplicação por escalar
Deveríamos ter
Deveríamos ter
Mas
que só coincide com
quando
. Logo falha também a propriedade do escalar
.
Resposta
O conjunto
com essas operações não é espaço vetorial. Falham pelo menos os seguintes axiomas:
- associatividade da soma,
- existência de elemento neutro e inverso aditivo,
- propriedade
.