Seja
o conjunto das duplas de números reais
onde a soma é definida como
e a multiplicação por escalar como
(a) Supondo que
seja de fato um espaço vetorial, utilize um dos teoremas do exercício 1 para encontrar o vetor nulo deste espaço;
(b) Supondo que
seja de fato um espaço vetorial, utilize um dos teoremas do exercício 1 para encontrar o vetor negativo de
;
(c) Verifique se
é de fato um espaço vetorial.
(b) Supondo que
(c) Verifique se
Passo 1
Temos o conjunto
com operações
O exercício pede: (a) encontrar o vetor nulo de
usando a propriedade
; (b) encontrar o inverso aditivo de
usando
; (c) verificar se as operações satisfazem todas as axiomas de espaço vetorial, por exemplo a distributividade
.
Passo 2
Para o vetor nulo
devemos ter, para todo
,
Isto equivale a
Dessas equações segue
Passo 3
Para o inverso aditivo de
, digamos
, exigimos
Da parte
obtemos
. Analogamente
. Logo o inverso é
Passo 4
Basta encontrar um axioma que falhe. Verifiquemos a distributividade à esquerda:
Primeiro
logo
Por outro lado,
Como
para
, essa distributividade falha em geral. Portanto
não é espaço vetorial.
Resposta
(a) O vetor nulo é
.
(b) O inverso aditivo de é
.
(c) não é espaço vetorial, pois falha, por exemplo, a distributividade
.
(b) O inverso aditivo de
(c)