Seja S o conjunto das duplas de números reais (x1, x2) onde a soma é definida como
(x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1+1, x2+y2+1)
e a multiplicação por escalar como
a cdot(x1, x2)=(a cdot x1+a-1, a cdot x2+a-1)
(a) Supondo que S seja de fato um espaço vetorial, utilize um dos teoremas do exercício 1 para encontrar o vetor nulo deste espaço;
(b) Supondo que S seja de fato um espaço vetorial, utilize um dos teoremas do exercício 1 para encontrar o vetor negativo de (x1, x2);
(c) Verifique se S é de fato um espaço vetorial.

Passo 1

Temos o conjunto SsubsetR^2 com operações
(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1+1,;x2+y2+1),
acdot(x1,x2)=(a,x1+a-1,;a,x2+a-1)
O exercício pede: (a) encontrar o vetor nulo de S usando a propriedade v+0=v; (b) encontrar o inverso aditivo de (x1,x2) usando v+(-v)=0; (c) verificar se as operações satisfazem todas as axiomas de espaço vetorial, por exemplo a distributividade acdot(u+v)=acdot u + acdot v.

Passo 2

Para o vetor nulo (e1,e2) devemos ter, para todo (x1,x2)in S,
(x1,x2)+(e1,e2)=(x1,x2)
Isto equivale a
x1+e1+1 = x1, x2+e2+1 = x2
Dessas equações segue
e1=-1, e2=-1

Passo 3

Para o inverso aditivo de (x1,x2), digamos (y1,y2), exigimos
(x1,x2)+(y1,y2)=(e1,e2)=(-1,-1)
Da parte x1+y1+1=-1 obtemos y1=-x1-2. Analogamente y2=-x2-2. Logo o inverso é
-(x1,x2) = (-x1-2,,-x2-2)

Passo 4

Basta encontrar um axioma que falhe. Verifiquemos a distributividade à esquerda:
acdotl((x1,x2)+(y1,y2)r) versus acdot(x1,x2) + acdot(y1,y2)
Primeiro
(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1+1,;x2+y2+1),
logo
acdotl((x1,x2)+(y1,y2)r) =l(a(x1+y1+1)+a-1,;a(x2+y2+1)+a-1r)
=l(a x1+a y1+2a-1,;a x2+a y2+2a-1r)
Por outro lado,
acdot(x1,x2)=(a x1+a-1,;a x2+a-1),
acdot(y1,y2)=(a y1+a-1,;a y2+a-1),
acdot(x1,x2)+acdot(y1,y2) =l(a x1+a-1 + a y1+a-1 +1,;dotsr)
=l(a x1+a y1+3a-1,;a x2+a y2+3a-1r)
Como 2a-1neq 3a-1 para aneq0, essa distributividade falha em geral. Portanto S não é espaço vetorial.

Resposta

(a) O vetor nulo é (-1,-1).
(b) O inverso aditivo de (x1,x2) é l(-x1-2,,-x2-2r).
(c) S não é espaço vetorial, pois falha, por exemplo, a distributividade acdot(u+v)=acdot u + acdot v.

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