Sejam u=-2 i+5 j e v=i+a j, determine a tal que:
O ângulo entre u e v seja pi / 3

Passo 1

O enunciado dá u=-2,i+5,j e v=i+a,j e pede a para que o ângulo entre elas seja pi/3. O conteúdo principal aqui é o produto escalar de vetores e sua relação com o cosseno do ângulo.

Passo 2

Pelo produto escalar temos
ucdotv=|u|,|v|costheta.
Calculamos cada parte:
ucdotv=-2cdot1+5cdot a=-2+5a,
|u|=raiz(-2)^2+5^2=raiz29,
|v|=raiz1^2+a^2=raiz1+a^2,
e cos(pi/3)=tfrac12.

Passo 3

Igualando ao cosseno desejado:
-2+5a ;=;12,raiz29,raiz1+a^2

Passo 4

Elevamos ao quadrado para eliminar as raízes:
(-2+5a)^2 ;=;294,(1+a^2)
Multiplicando por 4 e reunindo termos, obtém-se
71a^2 -80a -13 = 0

Passo 5

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
a = 80 pm raiz80^2 + 4cdot71cdot132cdot71 = 80 pm raiz10092142 = 40 pm 29raiz371

Passo 6

Para que o ângulo seja pi/3 (ou seja, um ângulo agudo de 60^circ), precisamos de ucdotv>0. Testando, só
a = 40+29raiz371
torna -2+5a positivo.

Resposta

a = 40+29raiz371

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