Sejam as bases beta=u1 ; u2 e beta^prime=w1 ; w2 do R^2, onde u1=(2,-1), u2=(-1,1) e w1=(1,0), w2=(2,1). Encontrar [I]beta^prime^beta.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos duas bases de R^2:
beta=u1,u2 com u1=(2,-1), u2=(-1,1)
e beta'=w1,w2 com w1=(1,0), w2=(2,1).
O objetivo é encontrar a matriz de mudança de base
[I]beta'^beta, isto é, a matriz que leva coordenadas em beta
para coordenadas em beta'.

Passo 2

Coordenadas de u1 em beta'
Queremos (a,b) tais que
u1 ;=; (2,-1) ;=; a,w1 + b,w2 ;=; a,(1,0) + b,(2,1) ;=; (a+2b,;b)
Igualando componentes, vem
b = -1, a + 2b = 2 ;Longrightarrow; a + 2(-1)=2 ;Longrightarrow; a=4
Logo
u1 = 4,w1 - 1,w2,
e as coordenadas de u1 em beta' são l(4,,-1r).

Passo 3

Coordenadas de u2 em beta'
Buscamos (c,d) tais que
u2 = (-1,1) = c,w1 + d,w2 = (c+2d,;d)
Igualando componentes, vem
d = 1, c + 2d = -1 ;Longrightarrow; c + 2(1) = -1 ;Longrightarrow; c = -3
Assim
u2 = -3,w1 + 1,w2,
e as coordenadas de u2 em beta' são l(-3,,1r).

Passo 4

Montagem da matriz [I]beta'^beta
Por definição, as colunas de [I]beta'^beta são
as coordenadas de u1 e u2 em beta'.
Logo
[I]beta'^beta = 4 & -3 -1 & 1

Resposta

[I]beta'^beta = 4 & -3 -1 & 1

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