Seja X subset N um conjunto infinito. Prove que existe uma função crescente f: N X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto X que está dentro dos números naturais ( N ) e é infinito. A tarefa é mostrar que existe uma função que pega cada número natural e associa a ele um elemento de X de forma crescente. Ou seja, se você aumentar o número de entrada, o valor de saída também aumenta. Para resolver isso, vamos usar noções de funções, conjuntos infinitos e propriedades dos números naturais.

Passo 2

Primeiro, como X é infinito e está dentro de N , sabemos que podemos listar seus elementos em ordem crescente. Isso porque os números naturais são bem ordenados, o que significa que todo subconjunto não vazio de N tem um menor elemento.

Passo 3

Vamos construir a função f passo a passo. A ideia é que para cada n em N , f(n) seja o n -ésimo elemento de X quando listados em ordem crescente.

Passo 4

Começamos definindo f(1) como o menor elemento de X . Como X é infinito, sempre existe um próximo elemento maior que o anterior. Então, para cada n , f(n) será definido como o menor elemento de X que é maior que f(n-1) .

Passo 5

Formalmente, podemos definir f assim:
f(1) = min X
E para cada n > 1 ,
f(n) = min x in X mid x > f(n-1)
Isso garante que a função f é crescente, já que cada f(n) é maior que f(n-1) .

Passo 6

Como X é infinito, nunca vamos ficar sem elementos para escolher. Sempre haverá um próximo número maior no conjunto X para associar a cada n .

Resposta

Portanto, existe uma função crescente f: N X definida por:
f(1) = min X
e
f(n) = min x in X mid x > f(n-1) para todo n > 1

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