Seja
um conjunto infinito. Prove que existe uma função crescente
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto
que está dentro dos números naturais (
) e é infinito. A tarefa é mostrar que existe uma função que pega cada número natural e associa a ele um elemento de
de forma crescente. Ou seja, se você aumentar o número de entrada, o valor de saída também aumenta. Para resolver isso, vamos usar noções de funções, conjuntos infinitos e propriedades dos números naturais.
Passo 2
Primeiro, como
é infinito e está dentro de
, sabemos que podemos listar seus elementos em ordem crescente. Isso porque os números naturais são bem ordenados, o que significa que todo subconjunto não vazio de
tem um menor elemento.
Passo 3
Vamos construir a função
passo a passo. A ideia é que para cada
em
,
seja o
-ésimo elemento de
quando listados em ordem crescente.
Passo 4
Começamos definindo
como o menor elemento de
. Como
é infinito, sempre existe um próximo elemento maior que o anterior. Então, para cada
,
será definido como o menor elemento de
que é maior que
.
Passo 5
Formalmente, podemos definir
assim:
E para cada
,
Isso garante que a função
é crescente, já que cada
é maior que
.
Passo 6
Como
é infinito, nunca vamos ficar sem elementos para escolher. Sempre haverá um próximo número maior no conjunto
para associar a cada
.
Resposta
Portanto, existe uma função crescente
definida por:
e