Sejam X e Y dois conjuntos finitos.
Mostre que X cup Y é finito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos dois conjuntos finitos, X e Y , e precisamos mostrar que a união deles, X cup Y , também é finita. Isso está dentro do conteúdo de Teoria dos Conjuntos, especificamente sobre propriedades de conjuntos finitos. Para resolver isso, vamos usar o entendimento de o que significa um conjunto ser finito e como funciona a união de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto finito. Um conjunto é finito se ele tem um número específico de elementos. Por exemplo, o conjunto X = 1, 2, 3 é finito porque tem três elementos.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é a união de dois conjuntos. A união, representada por X cup Y , é o conjunto que contém todos os elementos que estão em X , em Y , ou em ambos. Importante: não repetimos elementos na união.

Passo 4

Como X e Y são finitos, isso significa que existem números específicos de elementos em cada um. Vamos chamar |X| = n e |Y| = m , onde n e m são números naturais (1, 2, 3, …).

Passo 5

Para encontrar o número de elementos em X cup Y , usamos a fórmula:
|X cup Y| = |X| + |Y| - |X cap Y|
Aqui, |X cap Y| representa o número de elementos que estão tanto em X quanto em Y .

Passo 6

Como |X cap Y| é pelo menos zero (não pode ter menos de zero elementos), temos:
|X cup Y| <= |X| + |Y|
Isso significa que a união de X e Y tem no máximo n + m elementos.

Passo 7

Já que n e m são números finitos, a soma n + m também é finita. Portanto, |X cup Y| é finito, pois é menor ou igual a uma soma finita.

Resposta

Assim, mostramos que X cup Y é um conjunto finito.

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