Sejam
e
dois conjuntos finitos.
Mostre que
é finito.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos dois conjuntos finitos,
e
, e precisamos mostrar que a união deles,
, também é finita. Isso está dentro do conteúdo de Teoria dos Conjuntos, especificamente sobre propriedades de conjuntos finitos. Para resolver isso, vamos usar o entendimento de o que significa um conjunto ser finito e como funciona a união de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto finito. Um conjunto é finito se ele tem um número específico de elementos. Por exemplo, o conjunto
é finito porque tem três elementos.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é a união de dois conjuntos. A união, representada por
, é o conjunto que contém todos os elementos que estão em
, em
, ou em ambos. Importante: não repetimos elementos na união.
Passo 4
Como
e
são finitos, isso significa que existem números específicos de elementos em cada um. Vamos chamar
e
, onde
e
são números naturais (1, 2, 3, …).
Passo 5
Para encontrar o número de elementos em
, usamos a fórmula:
Aqui,
representa o número de elementos que estão tanto em
quanto em
.
Passo 6
Como
é pelo menos zero (não pode ter menos de zero elementos), temos:
Isso significa que a união de
e
tem no máximo
elementos.
Passo 7
Já que
e
são números finitos, a soma
também é finita. Portanto,
é finito, pois é menor ou igual a uma soma finita.
Resposta
Assim, mostramos que
é um conjunto finito.