Sejam X e Y dois conjuntos finitos.
Se X tem n elementos, então o número de funções bijetoras f: X X é n!.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos finitos, X e Y. Sabemos que o conjunto X tem n elementos. A pergunta é: quantas funções bijetoras f: X X existem? Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de conjuntos finitos, funções bijetoras e permutações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função bijetora. Uma função é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora (cada elemento de X é mapeado para um elemento único em Y) e sobrejetora (todos os elementos de Y são atingidos pela função). No caso de f: X X, uma função bijetora garante que cada elemento de X é mapeado de forma única para outro elemento de X, sem repetições nem elementos sobrando.

Passo 3

Agora, vamos relacionar isso com permutações. Uma permutação de um conjunto é simplesmente uma rearranjo dos seus elementos. No caso de uma função bijetora de X para X, estamos essencialmente rearranjando os elementos de X de todas as formas possíveis. Cada permutação diferente corresponde a uma função bijetora distinta.

Passo 4

Para contar o número de permutações possíveis de n elementos, usamos o fatorial de n, denotado por n!. O fatorial de um número n é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n:
n! = n times (n-1) times (n-2) times dotsb times 2 times 1
Isso nos dá todas as possíveis maneiras de rearranjar os n elementos de X.

Resposta

Portanto, o número de funções bijetoras f: X X é n!.

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