Sejam
e
dois conjuntos finitos.
Se
tem
elementos, então o número de funções bijetoras
é
!.
Se
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos finitos,
e
. Sabemos que o conjunto
tem
elementos. A pergunta é: quantas funções bijetoras
existem? Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de conjuntos finitos, funções bijetoras e permutações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função bijetora. Uma função é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora (cada elemento de
é mapeado para um elemento único em
) e sobrejetora (todos os elementos de
são atingidos pela função). No caso de
, uma função bijetora garante que cada elemento de
é mapeado de forma única para outro elemento de
, sem repetições nem elementos sobrando.
Passo 3
Agora, vamos relacionar isso com permutações. Uma permutação de um conjunto é simplesmente uma rearranjo dos seus elementos. No caso de uma função bijetora de
para
, estamos essencialmente rearranjando os elementos de
de todas as formas possíveis. Cada permutação diferente corresponde a uma função bijetora distinta.
Passo 4
Para contar o número de permutações possíveis de
elementos, usamos o fatorial de
, denotado por
. O fatorial de um número
é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até
:
Isso nos dá todas as possíveis maneiras de rearranjar os
elementos de
.
Resposta
Portanto, o número de funções bijetoras
é
.