Seja P subset N o conjunto dos números pares e Q subset N o conjunto dos quadrados perfeitos.
Construa uma bijeção entre P e Q.

Passo 1

O enunciado define
PsubsetN como o conjunto dos números pares e
QsubsetN como o conjunto dos quadrados perfeitos.
Queremos construir uma bijeção entre esses conjuntos, usando a ideia de parametrizar seus elementos e definir uma função explícita.

Passo 2

Qualquer elemento de P pode ser escrito de forma única como
p = 2k,
com kinN.

Passo 3

Qualquer elemento de Q pode ser escrito de forma única como
q = m^2,
com minN.

Passo 4

Definimos a função
fcolon P to Q
por
f(2k) = k^2

Passo 5

Para ver que f é injetiva, suponha
f(2k1)=f(2k2)
Isso dá k1^2=k2^2. Como k1,k2>=1, segue k1=k2 e, portanto, 2k1=2k2. Logo, f é injetiva.

Passo 6

Para ver que f é sobrejetiva, tome um qin Q. Então existe minN tal que q=m^2. Basta notar que p=2min P e
f(p)=f(2m)=m^2=q,
mostrando que todo q tem um antecessor em P.

Resposta

A bijeção fcolon Pto Q é dada por
f(2k)=k^2, kinN

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