Seja
o conjunto dos números pares e
o conjunto dos quadrados perfeitos.
Construa uma bijeção entre
e
.
Construa uma bijeção entre
Passo 1
O enunciado define
como o conjunto dos números pares e
como o conjunto dos quadrados perfeitos.
Queremos construir uma bijeção entre esses conjuntos, usando a ideia de parametrizar seus elementos e definir uma função explícita.
Queremos construir uma bijeção entre esses conjuntos, usando a ideia de parametrizar seus elementos e definir uma função explícita.
Passo 2
Qualquer elemento de
pode ser escrito de forma única como
com
.
Passo 3
Qualquer elemento de
pode ser escrito de forma única como
com
.
Passo 4
Definimos a função
por
Passo 5
Para ver que
é injetiva, suponha
Isso dá
. Como
, segue
e, portanto,
. Logo,
é injetiva.
Passo 6
Para ver que
é sobrejetiva, tome um
. Então existe
tal que
. Basta notar que
e
mostrando que todo
tem um antecessor em
.
Resposta
A bijeção
é dada por