Seja P subset N o conjunto dos números pares e Q subset N o conjunto dos quadrados perfeitos.
Mostre que os conjuntos P e Q são infinitos e enumeráveis.

Passo 1

Então, a gente tem dois conjuntos aqui: P que é o conjunto dos números pares e Q que é o conjunto dos quadrados perfeitos, ambos dentro dos números naturais N . O que a gente precisa fazer é mostrar que esses conjuntos são infinitos e enumeráveis. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser infinito e o que é uma enumeração de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos ver por que P é infinito. Um conjunto é infinito quando ele não tem um número finito de elementos. No caso de P , ele contém todos os números pares, como 2, 4, 6, 8, e assim por diante. Para qualquer número par que a gente escolher, sempre dá para adicionar mais um par (multiplicando por um número natural maior). Isso mostra que P não acaba nunca, ou seja, é infinito.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que Q também é infinito. Q é o conjunto dos quadrados perfeitos, tipo 1, 4, 9, 16, etc. Assim como com os pares, para cada número natural n , n^2 está em Q . Não importa o quanto a gente vá aumentando n , sempre vai ter um n^2 maior que o anterior. Então, Q também não tem fim, sendo assim infinito.

Passo 4

Agora que sabemos que ambos P e Q são infinitos, vamos ver por que eles são enumeráveis. Um conjunto é enumerável se a gente consegue listar todos os seus elementos de forma que cada elemento apareça em algum lugar na lista. Para P , a gente pode listar assim: 2, 4, 6, 8, 10, etc., claramente associando cada número natural n a 2n . Já para Q , a lista fica 1, 4, 9, 16, 25, etc., associando cada n a n^2 . Como conseguimos fazer essas listas, P e Q são enumeráveis.

Resposta

Os conjuntos P e Q são infinitos e enumeráveis.

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