Seja
o conjunto dos números pares e
o conjunto dos quadrados perfeitos.
Mostre que os conjuntos
e
são infinitos e enumeráveis.
Mostre que os conjuntos
Passo 1
Então, a gente tem dois conjuntos aqui:
que é o conjunto dos números pares e
que é o conjunto dos quadrados perfeitos, ambos dentro dos números naturais
. O que a gente precisa fazer é mostrar que esses conjuntos são infinitos e enumeráveis. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser infinito e o que é uma enumeração de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos ver por que
é infinito. Um conjunto é infinito quando ele não tem um número finito de elementos. No caso de
, ele contém todos os números pares, como 2, 4, 6, 8, e assim por diante. Para qualquer número par que a gente escolher, sempre dá para adicionar mais um par (multiplicando por um número natural maior). Isso mostra que
não acaba nunca, ou seja, é infinito.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
também é infinito.
é o conjunto dos quadrados perfeitos, tipo 1, 4, 9, 16, etc. Assim como com os pares, para cada número natural
,
está em
. Não importa o quanto a gente vá aumentando
, sempre vai ter um
maior que o anterior. Então,
também não tem fim, sendo assim infinito.
Passo 4
Agora que sabemos que ambos
e
são infinitos, vamos ver por que eles são enumeráveis. Um conjunto é enumerável se a gente consegue listar todos os seus elementos de forma que cada elemento apareça em algum lugar na lista. Para
, a gente pode listar assim: 2, 4, 6, 8, 10, etc., claramente associando cada número natural
a
. Já para
, a lista fica 1, 4, 9, 16, 25, etc., associando cada
a
. Como conseguimos fazer essas listas,
e
são enumeráveis.
Resposta
Os conjuntos
e
são infinitos e enumeráveis.