Seja o conjunto X=\left\{x \in \mathbb{R} ;\left|x^{2}-5 x+5\right|<1\right\}. Verifique se:
(a) X é limitado superiormente? Tem \sup X ? Tem máximo?
(b) X é limitado inferiormente? Tem inf X ? Tem mínimo?
(c) X é limitado?
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
X=\{x\in\mathbb{R} \;;\; |x^{2}-5x+5|<1\}.
As perguntas são:
(a) X é limitado superiormente? Existe \sup X? Existe máximo de X?
(b) X é limitado inferiormente? Existe \inf X? Existe mínimo de X?
(c) X é limitado (ou seja, limitado superiormente e inferiormente)?
Passo 2
Primeiro passo algébrico: transformar a desigualdade com valor absoluto. Lembrete: para qualquer expressão f(x),
Comentário amigável: ficou dois intervalos abertos separados por um buraco entre 2 e 3 — é importante perceber que os extremos 1,2,3,4 não pertencem a X (todas desigualdades eram estritas).
Passo 6
Agora responder (a): limitado superiormente? Sim, porque todo elemento de X é menor que 4. Uma cota superior é 4.
Existe \sup X? Sim: pelos axiomas dos reais, qualquer conjunto não vazio e limitado superiormente tem supremo. Mostraremos que o supremo é 4.
Primeiro, 4 é uma cota superior porque para todo x\in X tem x<4, logo x\le 4.
Segundo, 4 é o menor upper bound: para qualquer número M<4 podemos encontrar pontos de X maiores que M. Por exemplo, para qualquer n\ge 2 o ponto x_n=4-\tfrac{1}{n} pertence a (3,4)\subset X e satisfaz x_n> M para n suficientemente grande. Assim não existe cota superior menor que 4. Portanto
\sup X = 4.
Tem máximo? Não: para existir máximo precisaríamos 4\in X, mas 4\notin X (os intervalos são abertos em 4). Logo X não tem máximo.
Passo 7
Agora responder (b): limitado inferiormente? Sim, porque todo elemento de X é maior que 1. Uma cota inferior é 1.
Existe \inf X? Sim: pelos reais, conjunto não vazio e limitado inferiormente tem ínfimo. Mostramos que \inf X=1.
Primeiro, 1 é uma cota inferior pois para todo x\in X tem x>1, logo x\ge 1.
Segundo, 1 é o maior lower bound: para qualquer m>1 existe x\in X com x<m. Por exemplo, pontos y_n=1+\tfrac{1}{n}\in(1,2)\subset X e y_n<m para n grande. Assim não existe cota inferior maior que 1. Portanto
\inf X = 1.
Tem mínimo? Não: para haver mínimo precisaríamos 1\in X, mas 1\notin X. Logo X não tem mínimo.
Passo 8
Finalmente (c): X é limitado? Sim. Definição: um conjunto é limitado se é ao mesmo tempo limitado superiormente e limitado inferiormente. Já mostramos isso: 1\le x\le 4 para todo x\in X (na prática 1<x<4), então X é limitado. Outra maneira de dizer: X\subset[1,4], um intervalo compacto, portanto X é limitado.
Resposta
(a) Sim; \sup X=4; não tem máximo.
(b) Sim; \inf X=1; não tem mínimo.
(c) Sim, X é limitado.