Suponha que X é um conjunto não enumerável.
Prove que:
Se X=A cup B, então ou A ou B é não enumerável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão diz que temos um conjunto X que é não enumerável, ou seja, ele é tão grande que não dá para listar todos os seus elementos um a um. Queremos provar que, se a união de dois subconjuntos A e B dá exatamente X ( X = A cup B ), então pelo menos um desses subconjuntos ( A ou B ) também tem que ser não enumerável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável ou não, e usar algumas propriedades básicas de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser enumerável. Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser colocados em uma lista infinita, como os números naturais N = 1, 2, 3, dots . Se não conseguimos fazer essa listagem, o conjunto é não enumerável. Exemplos de conjuntos não enumeráveis incluem os números reais R .

Passo 3

Agora, vamos supor que X = A cup B onde X é não enumerável. Queremos provar que pelo menos um entre A ou B é não enumerável. Vamos fazer isso por contradição, assumindo o oposto: que ambos A e B são enumeráveis, e ver onde isso nos leva.

Passo 4

Se assumirmos que A e B são ambos enumeráveis, então podemos listar os elementos de A como a1, a2, a3, dots e os de B como b1, b2, b3, dots . A união de dois conjuntos enumeráveis também é enumerável. Podemos criar uma lista para X = A cup B intercalando os elementos de A e B , por exemplo: a1, b1, a2, b2, a3, b3, dots .

Passo 5

Isso significaria que X seria enumerável, já que conseguimos listar todos os seus elementos. Mas isso contraria a nossa hipótese inicial de que X é não enumerável. Ou seja, nossa suposição de que ambos A e B são enumeráveis está errada.

Passo 6

Portanto, a única possibilidade restante é que pelo menos um dos conjuntos A ou B seja não enumerável. Não podemos ter ambos sendo enumeráveis sem entrar em contradição com o fato de X ser não enumerável.

Resposta

Assim, provamos que se X = A cup B e X é não enumerável, então ou A ou B é não enumerável.

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