Suponha que
é um conjunto não enumerável.
Prove que:
Se
então
é não enumerável.
Prove que:
Se
Passo 1
Vamos resolver um exercício de teoria dos conjuntos, especificamente sobre conjuntos não enumeráveis. O enunciado nos dá que
é um conjunto não enumerável e pede para provar que, se
, então
também é não enumerável. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser não enumerável e como a relação de subconjunto influencia essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto não enumerável. Um conjunto é dito enumerável (ou contável) se seus elementos podem ser colocados em correspondência um a um com os números naturais. Ou seja, existe uma maneira de listar todos os elementos do conjunto sem faltar nenhum. Por outro lado, um conjunto é não enumerável se não é possível fazer essa listagem completa.
Passo 3
Agora, vamos supor que
seja um conjunto que contém
como subconjunto (
). Queremos provar que se
não é enumerável, então
também não pode ser enumerável.
Vamos por contradição: suponha que
seja enumerável. Se
puder ser listado, então qualquer subconjunto de
também deve ser enumerável, pois podemos simplesmente considerar a lista de
e selecionar apenas os elementos que estão em
. Mas isso contradiz a informação de que
é não enumerável. Portanto, nossa suposição de que
é enumerável está errada.
Passo 4
Assim, concluímos que se
é um subconjunto de
e
é não enumerável, então
também deve ser não enumerável. Isso acontece porque a enumerabilidade de
implicaria a enumerabilidade de
, o que sabemos que não é verdade.
Resposta
Portanto, se
e
é um conjunto não enumerável, então
também é não enumerável.