Suponha que X é um conjunto não enumerável.
Prove que:
Se X subset Y então Y é não enumerável.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de teoria dos conjuntos, especificamente sobre conjuntos não enumeráveis. O enunciado nos dá que X é um conjunto não enumerável e pede para provar que, se X subset Y , então Y também é não enumerável. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser não enumerável e como a relação de subconjunto influencia essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto não enumerável. Um conjunto é dito enumerável (ou contável) se seus elementos podem ser colocados em correspondência um a um com os números naturais. Ou seja, existe uma maneira de listar todos os elementos do conjunto sem faltar nenhum. Por outro lado, um conjunto é não enumerável se não é possível fazer essa listagem completa.

Passo 3

Agora, vamos supor que Y seja um conjunto que contém X como subconjunto ( X subset Y ). Queremos provar que se X não é enumerável, então Y também não pode ser enumerável.
Vamos por contradição: suponha que Y seja enumerável. Se Y puder ser listado, então qualquer subconjunto de Y também deve ser enumerável, pois podemos simplesmente considerar a lista de Y e selecionar apenas os elementos que estão em X . Mas isso contradiz a informação de que X é não enumerável. Portanto, nossa suposição de que Y é enumerável está errada.

Passo 4

Assim, concluímos que se X é um subconjunto de Y e X é não enumerável, então Y também deve ser não enumerável. Isso acontece porque a enumerabilidade de Y implicaria a enumerabilidade de X , o que sabemos que não é verdade.

Resposta

Portanto, se X subset Y e X é um conjunto não enumerável, então Y também é não enumerável.

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