Seja S=[(1+i, 3 i, 2-i),(2-3 i, 10+2 i, 5-i)] subset C^3. Determine uma base ortogonal para S, considerando em C^3 o produto interno canônico.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em C^3,
v1 = (1+i,;3i,;2-i), v2 = (2-3i,;10+2i,;5-i),
e pede uma base ortogonal do subespaço S=spanv1,v2 usando o produto interno canônico
lang<= x,yrang<= = sumj=1^3 xj,yj
Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt.

Passo 2

Definimos u1 = v1. Primeiro calculamos
lang<= u1,u1rang<= =(1+i)(1-i)+(3i)(-3i)+(2-i)(2+i) =2+9+5=16

Passo 3

Em seguida, projetamos v2 sobre u1. Precisamos de
lang<= v2,u1rang<= =(2-3i)(1-i)+(10+2i)(-3i)+(5-i)(2+i) =16-32i
Logo o coeficiente de projeção é
c = lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<= =16-32i16=1-2i

Passo 4

Definimos
u2 = v2 - c,u1 = (2-3i,;10+2i,;5-i);-;(1-2i),(1+i,;3i,;2-i)
Calculando componente a componente:
(1-2i)(1+i) =3 - i, (1-2i)(3i)=6+3i, (1-2i)(2-i)=-5i,
u2 = (2-3i,;10+2i,;5-i);-;(3 - i,;6+3i,;-5i) =(-1-2i,;4 - i,;5+4i)
Pode-se verificar que lang<= u1,u2rang<==0.

Resposta

Uma base ortogonal de S é
l,u1,;u2r =l(1+i,;3i,;2-i),;(-1-2i,;4 - i,;5+4i)r

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