Seja
, o conjunto de todas as matrizes
invertíveis com coeficientes em
, verifique que:
é um subgrupo de
.
Passo 1
O enunciado define o grupo
que é o conjunto das matrizes invertíveis
com coeficientes em
, e pede para mostrar que
é um subgrupo de
. Vamos usar o critério de subgrupo: um subconjunto não vazio é subgrupo se for fechado sob produto e inverso.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio, pois a matriz identidade
pertence a
e satisfaz
Logo
.
Passo 3
Fechamento sob produto. Sejam
. Isso significa
e
. Como o determinante é multiplicativo, temos
portanto
.
Passo 4
Fechamento sob inverso. Se
, então
é invertível e
. Como
concluímos que
.