Seja G=GL(n, R), n >= 2, o conjunto de todas as matrizes n times n invertíveis com coeficientes em R, verifique que:
H=A in GL(n, R): det A=1 é um subgrupo de GL(n, R).

Passo 1

O enunciado define o grupo
G = GL(n,R)
que é o conjunto das matrizes invertíveis ntimes n com coeficientes em R, e pede para mostrar que
H = Ain GL(n,R) : det A = 1
é um subgrupo de G. Vamos usar o critério de subgrupo: um subconjunto não vazio é subgrupo se for fechado sob produto e inverso.

Passo 2

Mostramos que H não é vazio, pois a matriz identidade In pertence a G e satisfaz
det In = 1
Logo Inin H.

Passo 3

Fechamento sob produto. Sejam A,Bin H. Isso significa det A=1 e det B=1. Como o determinante é multiplicativo, temos
det(AB) = det Acdotdet B = 1cdot1 = 1,
portanto ABin H.

Passo 4

Fechamento sob inverso. Se Ain H, então A é invertível e det A=1. Como
det(A^-1) = 1det A = 11 = 1,
concluímos que A^-1in H.

Resposta

H é subgrupo de GL(n,R).

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