Seja ABC um triângulo isósceles com base AB. Sejam M e N os pontos médios dos lados CA e CB, respectivamente. Mostre que, o reflexo do ponto C relativamente à reta que passa por M e N é exatamente o ponto médio do segmento AB

Passo 1

Beleza! Então, o que a gente tem aqui é um triângulo isósceles ABC com a base AB. Isso significa que os lados AC e BC são iguais. A gente precisa encontrar o reflexo do ponto C em relação à reta que passa pelos pontos médios M e N dos lados CA e CB, respectivamente. E mostrar que esse reflexo é exatamente o ponto médio do segmento AB. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria como pontos médios, reflexões e propriedades de triângulos isósceles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos médios M e N. Como M é o ponto médio de CA, temos que CM = MA. Da mesma forma, N é o ponto médio de CB, então CN = NB. Usar pontos médios é útil porque eles dividem os lados em partes iguais, o que nos ajuda a encontrar relações simétricas no triângulo.

Passo 3

Agora, vamos pensar na reta MN. Como M e N são pontos médios, a reta MN é a mediana que liga os pontos médios dos dois lados iguais do triângulo isósceles. Em um triângulo isósceles, essa mediana também é a altura e a bissetriz do triângulo, ou seja, perpendicular à base AB e que divide o ângulo no vértice C ao meio.

Passo 4

Para encontrar o reflexo de C em relação à reta MN, vamos lembrar que o reflexo de um ponto sobre uma reta é o ponto que fica “espelhado” em relação a essa reta. Geometricamente, isso significa que a reta MN será a mediatriz do segmento que liga C ao seu reflexo, chamando esse ponto de C'.

Passo 5

Como MN é a mediana que também é a altura no triângulo isósceles, sabemos que ela é perpendicular à base AB. Isso significa que a distância de C até a reta MN é a mesma distância de C' até MN. Portanto, C' estará alinhado verticalmente com C em relação à base AB.

Passo 6

Agora, vamos considerar o ponto médio de AB, que vamos chamar de D. Pela definição de ponto médio, AD = DB. A nossa meta é mostrar que C' = D.

Passo 7

Observando a simetria do triângulo isósceles, sabemos que a mediana MN passa exatamente pelo ponto D. Já que C' é o reflexo de C sobre MN, e MN passa por D, isso implica que C' deve coincidir com D. Assim, o reflexo de C em relação a MN é realmente o ponto médio de AB.

Resposta

O reflexo do ponto C relativamente à reta MN é o ponto médio de AB.

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