Seja
um triângulo isósceles com base
. Sejam
e
os pontos médios dos lados
e
, respectivamente. Mostre que, o reflexo do ponto
relativamente à reta que passa por
e
é exatamente o ponto médio do segmento
Passo 1
Beleza! Então, o que a gente tem aqui é um triângulo isósceles
com a base
. Isso significa que os lados
e
são iguais. A gente precisa encontrar o reflexo do ponto
em relação à reta que passa pelos pontos médios
e
dos lados
e
, respectivamente. E mostrar que esse reflexo é exatamente o ponto médio do segmento
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria como pontos médios, reflexões e propriedades de triângulos isósceles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos médios
e
. Como
é o ponto médio de
, temos que
. Da mesma forma,
é o ponto médio de
, então
. Usar pontos médios é útil porque eles dividem os lados em partes iguais, o que nos ajuda a encontrar relações simétricas no triângulo.
Passo 3
Agora, vamos pensar na reta
. Como
e
são pontos médios, a reta
é a mediana que liga os pontos médios dos dois lados iguais do triângulo isósceles. Em um triângulo isósceles, essa mediana também é a altura e a bissetriz do triângulo, ou seja, perpendicular à base
e que divide o ângulo no vértice
ao meio.
Passo 4
Para encontrar o reflexo de
em relação à reta
, vamos lembrar que o reflexo de um ponto sobre uma reta é o ponto que fica “espelhado” em relação a essa reta. Geometricamente, isso significa que a reta
será a mediatriz do segmento que liga
ao seu reflexo, chamando esse ponto de
.
Passo 5
Como
é a mediana que também é a altura no triângulo isósceles, sabemos que ela é perpendicular à base
. Isso significa que a distância de
até a reta
é a mesma distância de
até
. Portanto,
estará alinhado verticalmente com
em relação à base
.
Passo 6
Agora, vamos considerar o ponto médio de
, que vamos chamar de
. Pela definição de ponto médio,
. A nossa meta é mostrar que
.
Passo 7
Observando a simetria do triângulo isósceles, sabemos que a mediana
passa exatamente pelo ponto
. Já que
é o reflexo de
sobre
, e
passa por
, isso implica que
deve coincidir com
. Assim, o reflexo de
em relação a
é realmente o ponto médio de
.
Resposta
O reflexo do ponto
relativamente à reta
é o ponto médio de
.