Seja G um grupo e x in G. Suponha que exista um inteiro n >= 1 tal que x^n=e. Mostre que existe um inteiro m >= 1 tal que x^-1=x^m.

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo e xin G satisfaz
x^n=e
para algum inteiro n>=1. O que queremos mostrar é que existe um inteiro m>=1 tal que
x^-1=x^m
O conteúdo usado aqui é a definição de inverso em grupo e as leis de expoentes.

Passo 2

Suponha primeiro que n>1. Então podemos escrever
xcdot x^n-1=x^n=e
Pela unicidade do inverso, o elemento que multiplicado por x e é exatamente x^-1. Logo
x^-1=x^n-1
Como n>1 temos n-1>=1, então basta escolher m=n-1.

Passo 3

Se n=1, então x^1=e, isto é, x=e. Mas nesse caso
x^-1=e^-1=e=x^1,
e podemos tomar m=1.

Resposta

Em ambos os casos existe m>=1 tal que
x^-1=x^m,
mais precisamente
m= n-1,&n>1, 1,&n=1

Exercícios relacionados