Seja
um grupo e
. Suponha que exista um inteiro
tal que
. Mostre que existe um inteiro
tal que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo e
satisfaz
para algum inteiro
. O que queremos mostrar é que existe um inteiro
tal que
O conteúdo usado aqui é a definição de inverso em grupo e as leis de expoentes.
Passo 2
Suponha primeiro que
. Então podemos escrever
Pela unicidade do inverso, o elemento que multiplicado por
dá
é exatamente
. Logo
Como
temos
, então basta escolher
.
Passo 3
Se
, então
, isto é,
. Mas nesse caso
e podemos tomar
.
Resposta
Em ambos os casos existe
tal que
mais precisamente