Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em u=(u1, u2) e v=(v1, v2) por
u+v=(u1+v1+1, u2+v2+1), a u=(a u1, a u2)
Mostre que vale o Axioma 5 fornecendo um par ordenado -u tal que u+(-u)=0, com u=(u1, u2).

Passo 1

O enunciado trata do espaço vetorial V=R^2 com a soma
u+v=(u1+v1+1,;u2+v2+1)
e multiplicação por escalar usual au=(a,u1,a,u2).
Queremos mostrar o Axioma 5 (existência de inverso aditivo): para cada u existe -u tal que
u+(-u)=0

Passo 2

Primeiro achamos o vetor nulo 0=(alpha,beta) satisfazendo
u+0=(u1+alpha+1,;u2+beta+1)stackrel!=(u1,u2)
Isto exige
u1+alpha+1=u1implies alpha=-1, u2+beta+1=u2implies beta=-1
Logo
0=(-1,-1)

Passo 3

Agora buscamos -u=(v1,v2) tal que
u+(-u)=(u1+v1+1,;u2+v2+1)=(-1,-1)
Das componentes segue
u1+v1+1=-1implies v1=-2-u1, u2+v2+1=-1implies v2=-2-u2
Portanto
-u=(-u1-2,,-u2-2)

Passo 4

Verificamos diretamente:
u+(-u) =l(u1+(-u1-2)+1,;u2+(-u2-2)+1r) =(-1,-1)=0

Resposta

-u=(-u1-2,,-u2-2)

Exercícios relacionados