Seja A a matriz
A=(cccc 1 & 2 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0 1 & 3 & -1 & 2 )
Encontre um conjunto gerador para o subespaço formado pelas soluções do sistema linear A X=0.

Passo 1

O enunciado pede um gerador (base) do subespaço solução do sistema homogêneo
A X = 0,
onde
A = 1 & 2 & 0 & 1 [6pt] 1 & 1 & 1 & 0 [6pt] 1 & 3 & -1 & 2 ,
ou seja, queremos encontrar o núcleo (nullspace) de A. Para isso, vamos usar eliminação de Gauss para obter a forma escalonada, identificar variáveis livres e expressar a solução em termos de parâmetros.]

Passo 2

Aplicamos operações de linha para zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna. Subtraímos a primeira linha das segunda e terceira:
1 & 2 & 0 & 1 [3pt] 1 & 1 & 1 & 0 [3pt] 1 & 3 & -1 & 2 longrightarrow 1 & 2 & 0 & 1 [3pt] 0 & -1 & 1 & -1 [3pt] 0 & 1 & -1 & 1 ]

Passo 3

Observamos que a terceira linha é o oposto da segunda, logo torna-se linha zero após somarmos . A forma escalonada final é
Dessa forma, o posto e há variáveis livres. Chamemos
as componentes de .]

Passo 4

Das equações escalonadas temos
x1 + 2x2 + x4 = 0,[3pt] -,x2 + x3 - x4 = 0
Escolhemos x2 = s e x4 = t como parâmetros livres. Então
x3 = x2 + x4 = s + t, x1 = -,2x2 - x4 = -2s - t ]

Passo 5

Escrevendo em forma vetorial, a solução geral é
X = x1 x2 x3 x4 = s -2 1 1 0 + t -1 0 1 1 ,
com s,tin R.

Resposta

Um conjunto gerador para o subespaço solução é
-2 1 1 0 , -1 0 1 1

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