Seja A a matriz
A=(cccc 1 & 2 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0 1 & 3 & -1 & 2 )
Encontre uma base para o mesmo subespaço.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 1 & 2 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0 1 & 3 & -1 & 2
e pede uma base para o mesmo subespaço. Aqui entendemos que o “subespaço” é o núcleo de A, isto é,
ker(A)=lxinR^4mid A,x=0r
Para achar uma base de ker(A) vamos resolver o sistema homogêneo A,x=0 por eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevemos o sistema A,x=0 em forma de matriz aumentada e aplicamos operações de linha:
[cccc|c 1 & 2 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 0 & 0 1 & 3 & -1 & 2 & 0 ]
Fazemos L2 L2-L1 e L3 L3-L1, obtendo
[cccc|c 1 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & 0 ]
Em seguida, L3 L3+L2
[cccc|c 1 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 3

Do sistema escalonado temos as equações:
x1 + 2x2 + x4 = 0, -,x2 + x3 - x4 = 0
Escolhemos x2 e x4 como variáveis livres. Seja
x2 = s, x4 = t,
com s,tinR.

Passo 4

Expressamos as variáveis pivô em função de :
Logo a solução geral é

Passo 5

Os vetores multiplicados por s e t formam uma base de ker(A), pois são linearly independentes e geram todas as soluções.

Resposta

Uma base para o núcleo de A é
l,( -2,,1,,1,,0),;(-1,,0,,1,,1)r

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