Seja
a matriz
Encontre uma base para o mesmo subespaço.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
e pede uma base para o mesmo subespaço. Aqui entendemos que o “subespaço” é o núcleo de
A , isto é,
Para achar uma base de
ker(A) vamos resolver o sistema homogêneo
A,x=0 por eliminação de Gauss.
Passo 2
Escrevemos o sistema
A,x=0 em forma de matriz aumentada e aplicamos operações de linha:
Fazemos
L2 L2-L1 e
L3 L3-L1 , obtendo
Em seguida,
L3 L3+L2 dá
Passo 3
Do sistema escalonado temos as equações:
Escolhemos
x2 e
x4 como variáveis livres. Seja
com
s,tinR .
Passo 4
Expressamos as variáveis pivô em função de
:
Logo a solução geral é
Passo 5
Os vetores multiplicados por
s e
t formam uma base de
ker(A) , pois são linearly independentes e geram todas as soluções.
Resposta
Uma base para o núcleo de
A é