Suponha que todos os conjuntos
são enumeráveis.
Prove que para todo
é enumerável.
Prove que para todo
Passo 1
Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma sequência de conjuntos
, e todos eles são enumeráveis, ou seja, são conjuntos contáveis que podemos listar em sequência. A tarefa é mostrar que, para qualquer número natural
, a união desses conjuntos de
até
também é enumerável. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de conjuntos enumeráveis e entender como combinar essas enumerações em uma única lista.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser enumerável. Um conjunto é enumerável se conseguimos listar todos os seus elementos numa sequência, como
. Como todos os
são enumeráveis, para cada
, existe uma lista
.
Passo 3
Agora, queremos formar a união
. Como temos um número finito de conjuntos sendo unidos (de
até
), podemos construir uma sequência que inclui todos os elementos de cada
. Podemos fazer isso listando os elementos de
, depois os de
, e assim por diante, até
.
Passo 4
Para garantir que nossa lista seja sem repetições e cubra todos os elementos da união, podemos percorrer cada conjunto
e adicionar seus elementos na ordem. Isso cria uma sequência enumerada da união, já que cada elemento aparecerá em algum ponto da lista.
Resposta
Portanto, a união
é enumerável.