Suponha que todos os conjuntos A1, A2, ldots, An, ldots são enumeráveis.
Prove que para todo N in N, cupn=1^N An é enumerável.

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma sequência de conjuntos A1, A2, ldots, An, ldots , e todos eles são enumeráveis, ou seja, são conjuntos contáveis que podemos listar em sequência. A tarefa é mostrar que, para qualquer número natural N , a união desses conjuntos de A1 até AN também é enumerável. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de conjuntos enumeráveis e entender como combinar essas enumerações em uma única lista.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser enumerável. Um conjunto é enumerável se conseguimos listar todos os seus elementos numa sequência, como a1, a2, a3, ldots . Como todos os An são enumeráveis, para cada An , existe uma lista An = an,1, an,2, an,3, ldots .

Passo 3

Agora, queremos formar a união cupn=1^N An . Como temos um número finito de conjuntos sendo unidos (de A1 até AN ), podemos construir uma sequência que inclui todos os elementos de cada An . Podemos fazer isso listando os elementos de A1 , depois os de A2 , e assim por diante, até AN .

Passo 4

Para garantir que nossa lista seja sem repetições e cubra todos os elementos da união, podemos percorrer cada conjunto An e adicionar seus elementos na ordem. Isso cria uma sequência enumerada da união, já que cada elemento aparecerá em algum ponto da lista.

Resposta

Portanto, a união cupn=1^N An é enumerável.

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