Seja W o conjunto de todos os vetores da forma [c5 b+2 c b c] em que b e c são arbitrários. Determine vetores u e v tais que W=Lu, v. Por que isso mostra que W é um subespaço de R^3 ?

Passo 1

O enunciado define
.
Precisamos encontrar vetores e em tais que
isto é, o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Isso mostrará que é um subespaço de .

Passo 2

Observe que todo vetor em pode ser decomposto assim:
Aqui agrupamos os termos em e em para enxergar a combinação linear.

Passo 3

Pela decomposição acima, basta escolher
u = 510, v = 201,
pois então
W = l,b,u + c,vcolon b,cinRr = Lu,v

Passo 4

Qualquer conjunto gerado por combinações lineares de vetores em R^3 é, por definição, um subespaço: ele contém o vetor zero (tome b=c=0), e é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Logo, W é subespaço de R^3.

Resposta

u = 510, v = 201
Como W = Lu,v e todo espaço gerado é subespaço, concluímos que W é um subespaço de R^3.

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