Seja o conjunto de todos os vetores da forma em que b e c são arbitrários. Determine vetores u e v tais que W=Lu, v. Por que isso mostra que W é um subespaço de R^3 ?
Passo 1
O enunciado define
.
Precisamos encontrar vetores e em tais que
isto é, o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Isso mostrará que é um subespaço de .
Passo 2
Observe que todo vetor em pode ser decomposto assim:
Aqui agrupamos os termos em e em para enxergar a combinação linear.
Passo 3
Pela decomposição acima, basta escolher
u = 510, v = 201,
pois então
W = l,b,u + c,vcolon b,cinRr = Lu,v
Passo 4
Qualquer conjunto gerado por combinações lineares de vetores em R^3 é, por definição, um subespaço: ele contém o vetor zero (tome b=c=0), e é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Logo, W é subespaço de R^3.
Resposta
u = 510, v = 201
Como W = Lu,v e todo espaço gerado é subespaço, concluímos que W é um subespaço de R^3.