Seja A=[ccc1 & 0 & -2 0 & 2 & 2 2 & 1 & -1 -1 & 1 & a^2]
Considere agora a=1.
Determine uma base e a dimensão de Nuc(A).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar uma base e a dimensão do núcleo de uma matriz A . O núcleo de A , também conhecido como espaço nulo, consiste em todos os vetores x que, quando multiplicados pela matriz A , resultam no vetor zero. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e redução de matrizes.

Passo 2

Primeiro, substituímos o valor de a = 1 na matriz A . Assim, a matriz fica:
A = 1 & 0 & -2 0 & 2 & 2 2 & 1 & -1 -1 & 1 & 1

Passo 3

Agora, queremos encontrar todos os vetores x = x1 x2 x3 que satisfazem A x = 0 . Isso significa resolver o sistema linear:
1x1 + 0x2 - 2x3 = 0 0x1 + 2x2 + 2x3 = 0 2x1 + 1x2 - 1x3 = 0 -1x1 + 1x2 + 1x3 = 0

Passo 4

Vamos montar a matriz aumentada do sistema e realizar operações de linha para simplificá-la:
[ccc|c 1 & 0 & -2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 2 & 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 1 & 0 ]
Primeiro, vamos eliminar o x1 das linhas 3 e 4 usando a linha 1.
Linha 3 = Linha 3 - 2 * Linha 1:
2 - 2*1 = 0 1 - 2*0 = 1 -1 - 2*(-2) = 3 0 - 2*0 = 0
Linha 4 = Linha 4 + Linha 1:
-1 + 1 = 0 1 + 0 = 1 1 + (-2) = -1 0 + 0 = 0
A matriz fica:
[ccc|c 1 & 0 & -2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 0 & 1 & 3 & 0 0 & 1 & -1 & 0 ]

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por 2:
Linha 2 = Linha 2 / 2:
Substituindo na matriz:

Passo 6

Vamos eliminar das linhas 3 e 4 usando a linha 2.
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2:
Linha 4 = Linha 4 - Linha 2:
A matriz fica:

Passo 7

Vamos simplificar a terceira linha dividindo por 2:
Linha 3 = Linha 3 / 2:
E a quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 + Linha 3:
A matriz fica:

Passo 8

Agora, vamos eliminar da quarta linha usando a terceira linha:
Linha 4 = Linha 4 + Linha 3:
A matriz finalizada fica:

Passo 9

Agora, podemos escrever as equações correspondentes:
x1 - 2x3 = 0 x2 + x3 = 0 x3 = 0
Da terceira equação, vemos que x3 = 0 . Substituindo na segunda equação, x2 = -x3 = 0 . E na primeira equação, x1 = 2x3 = 0 .

Resposta

O núcleo de A contém apenas o vetor zero. Portanto, uma base para Nuc(A) é o conjunto vazio e a dimensão é 0 .

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